1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $u_n = \frac{(2n+1)^4}{(7n^2 + 1)^3}$. Il est affirmé que $n^2 u_n$ est majorée. Nous devons expliquer cela en détail. 2. **Formule et analyse :** La suite est donnée par $$u_n = \frac{(2n+1)^4}{(7n^2 + 1)^3}.$$ Nous voulons étudier le comportement de $n^2 u_n$ lorsque $n$ devient grand. 3. **Calcul de $n^2 u_n$ :** $$n^2 u_n = n^2 \times \frac{(2n+1)^4}{(7n^2 + 1)^3} = \frac{n^2 (2n+1)^4}{(7n^2 + 1)^3}.$$ 4. **Développement des termes dominants :** - $(2n+1)^4 = (2n)^4 + \text{termes de degré inférieur} = 16 n^4 + \text{termes plus petits}$. - $(7n^2 + 1)^3 = (7n^2)^3 + \text{termes de degré inférieur} = 343 n^6 + \text{termes plus petits}$. 5. **Approximation pour $n$ grand :** $$n^2 u_n \approx \frac{n^2 \times 16 n^4}{343 n^6} = \frac{16 n^6}{343 n^6} = \frac{16}{343}.$$ 6. **Conclusion :** La limite de $n^2 u_n$ quand $n \to +\infty$ est donc $$\lim_{n \to +\infty} n^2 u_n = \frac{16}{343}.$$ Cela montre que $n^2 u_n$ est bornée (majorée) par une constante proche de $\frac{16}{343}$ pour $n$ suffisamment grand. 7. **Interprétation pédagogique :** Multiplier $u_n$ par $n^2$ compense la décroissance rapide de $u_n$ due au dénominateur élevé. Le résultat est une suite $n^2 u_n$ qui ne diverge pas mais tend vers une limite finie, donc elle est majorée.