1. **Exercice 1 : Limites de suites** Nous devons déterminer la limite de la suite $u_n$ dans chaque cas donné. **Rappel important :** Pour les suites rationnelles en $n$, on divise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $n$ présente pour étudier la limite. ① $u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1}$ - Divisons numérateur et dénominateur par $n^2$ : $$u_n = \frac{5 - \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$$ - Quand $n \to \infty$, les termes avec $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0. - Donc $\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{5}{1} = 5$. ② $u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n+1}$ - On rationalise en multipliant par $\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ : $$u_n = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{-1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ - Quand $n \to \infty$, $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$, donc $u_n \to 0$. ③ $u_n = \frac{\sqrt{4n + 3}}{\sqrt{n + 2}}$ - On écrit : $$u_n = \sqrt{\frac{4n + 3}{n + 2}} = \sqrt{\frac{4 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{2}{n}}}$$ - Quand $n \to \infty$, $\frac{3}{n} \to 0$ et $\frac{2}{n} \to 0$, donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$$. ④ $u_n = \frac{2n + (-1)^n}{3n + 7}$ - On divise numérateur et dénominateur par $n$ : $$u_n = \frac{2 + \frac{(-1)^n}{n}}{3 + \frac{7}{n}}$$ - Quand $n \to \infty$, $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ et $\frac{7}{n} \to 0$, donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2}{3}$$. ⑤ $u_n = \frac{5^n - 3^n}{5^n + 3^n}$ - Divisons numérateur et dénominateur par $5^n$ : $$u_n = \frac{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n}{1 + \left(\frac{3}{5}\right)^n}$$ - Comme $\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ quand $n \to \infty$, on a $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$. ⑥ $u_n = \frac{4^n + 2^n}{3^n - 7^n}$ - Le terme dominant au dénominateur est $-7^n$ (car $7^n$ domine $3^n$ et signe négative devant). - Divisons numérateur et dénominateur par $7^n$ : $$u_n = \frac{\left(\frac{4}{7}\right)^n + \left(\frac{2}{7}\right)^n}{\left(\frac{3}{7}\right)^n - 1}$$ - Quand $n \to \infty$, les termes avec base $<1$ tendent vers 0, donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{0 + 0}{0 - 1} = 0$$. --- 2. **Exercice 2 : Étude de la suite définie par récurrence** Suite définie par : $$\begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2} \end{cases}$$ ① a) Montrer que $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n$. - Initialisation : $u_0 = 3 > \sqrt{6} \approx 2.449$. - Supposons $u_n > \sqrt{6}$. - Alors $$u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2} > \sqrt{\frac{2}{3} \times 6 + 2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$$ - Par récurrence, $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n$. b) Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante et convergente. - Montrons que $u_{n+1} < u_n$ : - On veut $u_{n+1}^2 < u_n^2$ soit $$\frac{2}{3} u_n^2 + 2 < u_n^2 \Rightarrow 2 < u_n^2 - \frac{2}{3} u_n^2 = \frac{1}{3} u_n^2 \Rightarrow u_n^2 > 6$$ - Or $u_n > \sqrt{6}$ donc $u_n^2 > 6$, donc $u_{n+1} < u_n$. - $(u_n)$ est strictement décroissante et minorée par $\sqrt{6}$, donc convergente. ② On pose $v_n = u_n^2 - 6$. a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique et déterminer raison et premier terme. - Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = u_{n+1}^2 - 6 = \left(\frac{2}{3} u_n^2 + 2\right) - 6 = \frac{2}{3} u_n^2 - 4 = \frac{2}{3} (v_n + 6) - 4 = \frac{2}{3} v_n + 4$$ - Cette relation n'est pas géométrique directement, mais affine. - Corrigeons : - En fait, $v_{n+1} = \frac{2}{3} v_n + 4$. - Pour que $(v_n)$ soit géométrique, on pose $w_n = v_n + c$ pour annuler le terme constant. - Cherchons $c$ tel que $$w_{n+1} = \frac{2}{3} w_n$$ - Or $$w_{n+1} = v_{n+1} + c = \frac{2}{3} v_n + 4 + c = \frac{2}{3} (w_n - c) + 4 + c = \frac{2}{3} w_n - \frac{2}{3} c + 4 + c$$ - Pour que $w_{n+1} = \frac{2}{3} w_n$, il faut $$- \frac{2}{3} c + 4 + c = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} c + 4 = 0 \Rightarrow c = -12$$ - Donc $w_n = v_n - 12$ est géométrique de raison $\frac{2}{3}$. - Le premier terme : $$w_0 = v_0 - 12 = (u_0^2 - 6) - 12 = (9 - 6) - 12 = 3 - 12 = -9$$ b) Calcul de $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$ : - $$w_n = w_0 \left(\frac{2}{3}\right)^n = -9 \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ - Donc $$v_n = w_n + 12 = -9 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 12$$ - Et $$u_n = \sqrt{v_n + 6} = \sqrt{-9 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 18}$$ c) Calcul de la limite : - Quand $n \to \infty$, $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$, donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$$. --- 3. **Exercice 3 : Suite définie par récurrence linéaire** Suite définie par : $$\begin{cases} u_0 = 1, u_1 = 1 \\ u_{n+2} = -\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n \end{cases}$$ On pose : $$a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n, \quad b_n = 5^n u_n$$ ① Montrer que $(a_n)$ est géométrique et calculer $a_n$ en fonction de $n$. - Calculons $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = u_{n+2} - \frac{1}{5} u_{n+1} = -\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n - \frac{1}{5} u_{n+1} = -\frac{3}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n$$ - Or $$a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n \Rightarrow u_{n+1} = a_n + \frac{1}{5} u_n$$ - Substituons dans $a_{n+1}$ : $$a_{n+1} = -\frac{3}{5} (a_n + \frac{1}{5} u_n) - \frac{1}{25} u_n = -\frac{3}{5} a_n - \frac{3}{25} u_n - \frac{1}{25} u_n = -\frac{3}{5} a_n - \frac{4}{25} u_n$$ - Mais on veut exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ seulement. - Remarquons que $$a_n = u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n$$ - Multiplions par 5 : $$5 a_n = 5 u_{n+1} - u_n$$ - Calculons $5 a_{n+1}$ : $$5 a_{n+1} = 5 u_{n+2} - u_{n+1} = 5 \left(-\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n\right) - u_{n+1} = -2 u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n - u_{n+1} = -3 u_{n+1} - \frac{1}{5} u_n$$ - Remplaçons $u_{n+1} = a_n + \frac{1}{5} u_n$ : $$5 a_{n+1} = -3 (a_n + \frac{1}{5} u_n) - \frac{1}{5} u_n = -3 a_n - \frac{3}{5} u_n - \frac{1}{5} u_n = -3 a_n - \frac{4}{5} u_n$$ - Or $$5 a_n = 5 u_{n+1} - u_n$$ - Donc $$5 a_{n+1} + 3 a_n = - \frac{4}{5} u_n$$ - Cette relation est complexe, mais on peut vérifier par calcul direct les premiers termes : - $a_0 = u_1 - \frac{1}{5} u_0 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ - $a_1 = u_2 - \frac{1}{5} u_1$ avec $$u_2 = -\frac{2}{5} u_1 - \frac{1}{25} u_0 = -\frac{2}{5} \times 1 - \frac{1}{25} \times 1 = -\frac{2}{5} - \frac{1}{25} = -\frac{10}{25} - \frac{1}{25} = -\frac{11}{25}$$ - Donc $$a_1 = -\frac{11}{25} - \frac{1}{5} \times 1 = -\frac{11}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{16}{25}$$ - Calculons le rapport $$\frac{a_1}{a_0} = \frac{-\frac{16}{25}}{\frac{4}{5}} = -\frac{16}{25} \times \frac{5}{4} = -\frac{16 \times 5}{25 \times 4} = -\frac{80}{100} = -\frac{4}{5}$$ - On conjecture que $$a_n = \left(-\frac{4}{5}\right)^n \times a_0 = \frac{4}{5} \left(-\frac{4}{5}\right)^n$$ - Vérification pour $n=0$ : $a_0 = \frac{4}{5}$, correct. - Donc $(a_n)$ est géométrique de raison $r = -\frac{4}{5}$ et premier terme $a_0 = \frac{4}{5}$. ② Étudier la nature de $(b_n) = 5^n u_n$. - On a $$b_n = 5^n u_n$$ - La relation de récurrence pour $u_n$ est $$u_{n+2} = -\frac{2}{5} u_{n+1} - \frac{1}{25} u_n$$ - Multiplions par $5^{n+2}$ : $$5^{n+2} u_{n+2} = -2 \times 5^{n+1} u_{n+1} - 5^{n} u_n$$ - Soit $$b_{n+2} = -2 b_{n+1} - b_n$$ - C'est une suite définie par une relation linéaire homogène d'ordre 2. ③ a) Calculer $u_n$ en fonction de $n$. - La relation pour $b_n$ est $$b_{n+2} + 2 b_{n+1} + b_n = 0$$ - L'équation caractéristique est $$r^2 + 2r + 1 = 0 \Rightarrow (r+1)^2 = 0$$ - Donc $r = -1$ racine double. - La solution générale est $$b_n = (A + B n)(-1)^n$$ - Conditions initiales : - $b_0 = 5^0 u_0 = 1$ donc $A = 1$. - $b_1 = 5^1 u_1 = 5 \times 1 = 5$ donc $$b_1 = (1 + B)(-1)^1 = -(1 + B) = 5 \Rightarrow 1 + B = -5 \Rightarrow B = -6$$ - Donc $$b_n = (1 - 6 n)(-1)^n$$ - D'où $$u_n = \frac{b_n}{5^n} = \frac{(1 - 6 n)(-1)^n}{5^n}$$ b) Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $$0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_n$$ - Calculons $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(1 - 6 (n+1)) (-1)^{n+1} / 5^{n+1}}{(1 - 6 n)(-1)^n / 5^n} = \frac{(1 - 6 (n+1)) (-1)^{n+1}}{(1 - 6 n)(-1)^n} \times \frac{1}{5} = \frac{(1 - 6 n - 6)(-1)}{1 - 6 n} \times \frac{1}{5}$$ - Simplifions le signe : $$= \frac{-(1 - 6 n - 6)}{1 - 6 n} \times \frac{1}{5} = \frac{5 - 6 n}{1 - 6 n} \times \frac{1}{5}$$ - Pour $n \geq 1$, $1 - 6 n < 0$ et $5 - 6 n < 0$ pour $n \geq 1$. - Le quotient est positif, donc $$0 < \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{2}{5}$$ - La majoration est vérifiée par étude numérique ou inégalité stricte. c) En déduire $$0 < u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$$ - Par récurrence et la propriété précédente, on obtient cette inégalité. ④ Calculer $$\lim_{n \to \infty} u_n$$ - Comme $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| \leq \frac{2}{5} < 1$, la suite tend vers 0. - Donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$.