1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite de la fonction $f(x) = \ln(x) - x^2$ en $0^+$ et en $+\infty$. 2. **Rappel des définitions et règles importantes** : - La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x>0$. - Quand $x \to 0^+$, $\ln(x) \to -\infty$. - Quand $x \to +\infty$, $\ln(x)$ croît lentement, tandis que $x^2$ croît très rapidement. 3. **Étude de la limite en $0^+$** : - On a $f(x) = \ln(x) - x^2$. - Quand $x \to 0^+$, $\ln(x) \to -\infty$ et $x^2 \to 0$. - Donc $f(x) \sim \ln(x) \to -\infty$. 4. **Étude de la limite en $+\infty$** : - Quand $x \to +\infty$, $\ln(x) \to +\infty$ mais $x^2 \to +\infty$ beaucoup plus vite. - Donc $f(x) = \ln(x) - x^2 \approx -x^2 \to -\infty$. **Réponse finale** : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.$$