1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + 4} & x \geq 0 \\ x^3 - 3x^2 + 2 & x < 0 \end{cases}$$ quand $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$. 2. **Formules et règles importantes :** - La limite en l'infini d'une fonction racine carrée est dominée par le terme de plus haut degré sous la racine. - Pour un polynôme, la limite en $\pm \infty$ est déterminée par le terme de plus haut degré. 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** - Pour $x \geq 0$, $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$. - On peut écrire $$\sqrt{x^2 + 4} = |x| \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} = x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$$ car $x \geq 0$. - Quand $x \to +\infty$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} = +\infty.$$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ :** - Pour $x < 0$, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. - Le terme dominant est $x^3$, donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2 + 2) = -\infty.$$ **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$$