1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $g(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$, puis interpréter graphiquement. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier les limites à l'infini de fonctions rationnelles ou comportant des racines, on divise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $x$ présente dans le dénominateur (ici $|x|$ car racine carrée de $x^2$). 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ :** $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{|x| \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = 1 $$ 4. **Interprétation graphique pour $x \to +\infty$ :** La fonction $g(x)$ tend vers 1, ce qui signifie que la courbe de $g$ s'approche de la droite horizontale $y=1$ à droite. 5. **Calcul de $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ :** $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{|x| \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{-x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{1 + 0}{-1} = -1 $$ 6. **Interprétation graphique pour $x \to -\infty$ :** La fonction $g(x)$ tend vers $-1$, donc la courbe s'approche de la droite horizontale $y=-1$ à gauche. **Réponse finale :** $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} g(x) = -1 $$ Graphiquement, $g$ admet deux asymptotes horizontales $y=1$ à droite et $y=-1$ à gauche.