1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite des fonctions données en 0 et en plus l'infini. 2. **Fonction a)** : $f(x) = x^2 - 3x - \ln(x)$ avec $x > 0$ car $\ln(x)$ est défini pour $x > 0$. 3. **Limite en 0 de $f(x)$** : - $x^2 \to 0$ - $-3x \to 0$ - $-\ln(x) \to +\infty$ car $\ln(x) \to -\infty$ quand $x \to 0^+$ Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0 - (-\infty) = +\infty.$$ 4. **Limite en $+\infty$ de $f(x)$** : - $x^2 \to +\infty$ - $-3x \to -\infty$ - $-\ln(x) \to -\infty$ mais $\ln(x)$ croît lentement Le terme dominant est $x^2$ qui croît plus vite que $3x$ et $\ln(x)$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 5. **Fonction b)** : $f(x) = (e^x - 1) \ln(e^x - 1)$ avec $x > 0$ car $\ln(e^x - 1)$ nécessite $e^x - 1 > 0$ donc $x > 0$. 6. **Limite en 0 de $f(x)$** : - Quand $x \to 0^+$, $e^x - 1 \approx x$ (développement de $e^x$) - Donc $f(x) \approx x \ln(x)$ On sait que $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0.$$ Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0.$$ 7. **Limite en $+\infty$ de $f(x)$** : - $e^x - 1 \approx e^x$ pour grand $x$ - $\ln(e^x - 1) \approx \ln(e^x) = x$ Donc $$f(x) \approx e^x \cdot x$$ qui tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$. **Réponses finales** : - Pour a) : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ - Pour b) : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$