1. Calcul des limites : - $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^2 + 4x + 3} = \frac{\sqrt{10 + 4}}{1 + 4 + 3} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - x - x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 2x} = +\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x + 2} = +\infty$$ - $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 22 - 3}}{x^2 - 6x + 5} = \frac{\sqrt{24}}{25 - 30 + 5} = \frac{2\sqrt{6}}{0} = \pm \infty$$ (limite infinie) 2. Classement croissant : $$\sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < 3\sqrt{14} < 4\sqrt{5} < 6\sqrt{7}$$ 3.a. Continuité de $$f$$ en $$x_0 = 0$$ : - $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 8} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = \frac{1}{12}$$ donc $$f$$ est continue en 0. 3.b. $$f$$ est continue sur $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$ et en $$0$$ donc sur $$\mathbb{R}^*$$ et $$\{0\}$$. EXERCICE 2 : 1. Variations de $$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1$$ : - $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$$ - Étudier le signe de $$f'$$ pour dresser le tableau de variations. 2. $$f(x)$$ coupe l'axe des abscisses en un seul point $$\alpha \in ]2, 3[$. 3. Encadrement de $$\alpha$$ par dichotomie avec amplitude $$1.25 \times 10^{-1}$$. EXERCICE 3 : 1. Équation $$x^5 + x^3 - 1 = 0$$ admet une unique solution $$\alpha$$ avec $$0 < \alpha < 1$$. 2.a. $$f$$ continue en $$x_0 = \alpha$$. 2.b. $$f$$ continue sur $$\mathbb{R}$$. EXERCICE 4 : 1. Domaine de définition $$D_f = [-3, +\infty[$ et limites aux bornes calculées. 2.a. $$f'(x) = \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{x + 3}}$$ pour $$x \in ]-3, +\infty[$. 2.b. Étude du signe de $$f'(x)$$. 2.d. Tableau de variation de $$f$$. 4.a. $$g$$ sur $$I = [0, +\infty[$ admet une réciproque $$g^{-1}$$ définie sur $$J$$. 4.b. Tableau de variation de $$g^{-1}$$. 5.a. $$g(0) = 2$$ et $$g^{-1}(2\sqrt{3} - 1) = 0$$. 5.b. Expression de $$g^{-1}(x)$$ pour $$x \in J$$.