1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty;3]$ par $f(x) = x\sqrt{3 - x}$. 2. **Calcul des limites :** - Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. - Calculer $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$. 3. **Interprétation géométrique :** Ces limites permettent de comprendre le comportement de la courbe $C_f$ aux extrémités de son domaine. --- **Étapes détaillées :** 1. Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : La fonction est définie sur $]-\infty;3]$, donc $x \to +\infty$ n'appartient pas au domaine. La limite à droite n'existe pas dans le domaine. 2. Calcul de $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ : On a $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x\sqrt{3 - x}}{x} = \sqrt{3 - x}.$$ Quand $x \to 0^+$, $$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{3 - x} = \sqrt{3}.$$ 3. **Interprétation géométrique :** La limite $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \sqrt{3}$ signifie que la pente de la droite passant par l'origine et un point proche de $x=0$ sur la courbe $C_f$ tend vers $\sqrt{3}$. Cela suggère que la tangente en $x=0$ a une pente proche de $\sqrt{3}$. --- **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ n'existe pas car $f$ n'est pas définie pour $x > 3$. - $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \sqrt{3}$.