1. Énonçons le problème : Trouver toutes les limites possibles de la fonction $$f(x) = \frac{x^2}{\ln(x)} - 1$$ qui pourraient apparaître dans un examen. 2. Rappelons que la fonction est définie pour $$x > 0$$ car $$\ln(x)$$ n'est pas défini pour $$x \leq 0$$. 3. Étudions les limites aux bornes du domaine : - Limite en $$x \to 0^+$$ : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\ln(x)} - 1 = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\ln(x)} - 1$$ Ici, $$x^2 \to 0$$ et $$\ln(x) \to -\infty$$, donc $$\frac{x^2}{\ln(x)} \to 0$$ car le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur diverge. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 1 = -1$$. - Limite en $$x \to +\infty$$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x)} - 1$$ Ici, $$x^2 \to +\infty$$ et $$\ln(x) \to +\infty$$, mais $$x^2$$ croît beaucoup plus vite que $$\ln(x)$$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x)} = +\infty$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty - 1 = +\infty$$. 4. Étudions la limite en $$x \to 1$$ (point où $$\ln(x) = 0$$) : - La fonction n'est pas définie en $$x=1$$ car $$\ln(1) = 0$$ et division par zéro. - Étudions la limite à gauche et à droite de 1 : - Pour $$x \to 1^-$$, $$\ln(x) < 0$$ et tend vers 0 par valeurs négatives. - Pour $$x \to 1^+$$, $$\ln(x) > 0$$ et tend vers 0 par valeurs positives. Calculons : $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2}{\ln(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{1 + 2(x-1) + (x-1)^2}{\ln(1 + (x-1))}$$ Utilisons le développement de $$\ln(1+h) \approx h$$ pour $$h \to 0$$ : $$\approx \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} + 2 + h = \pm \infty$$ selon le signe de $$h$$. - Pour $$h \to 0^+$$ (côté droit), $$\frac{1}{h} \to +\infty$$ donc limite $$+\infty$$. - Pour $$h \to 0^-$$ (côté gauche), $$\frac{1}{h} \to -\infty$$ donc limite $$-\infty$$. Donc, $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty - 1 = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty - 1 = +\infty$$ 5. Résumé des limites importantes : - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -1$$ - $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$$ - $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ Ces limites couvrent les cas classiques d'examen pour cette fonction. Réponse finale : $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = -1, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$