1. **Énoncé du problème :** Étudier les limites de la fonction $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ lorsque $x \to +\infty$ et interpréter le résultat. 2. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** On a $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(\sqrt{x}^2 - 4\sqrt{x} + 4) = x(x - 4\sqrt{x} + 4)$. Développons : $$f(x) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x.$$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ :** On a $$\frac{f(x)}{x} = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4.$$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x$ qui tend vers $+\infty$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty.$$ 4. **Interprétation :** La fonction $f(x)$ croît plus vite que $x$ quand $x$ devient très grand, car $f(x)/x \to +\infty$. Cela signifie que $f(x)$ est de croissance supérieure à une fonction linéaire en $x$. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty.$$