1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $g(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$, puis interpréter graphiquement. 2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer les limites à l'infini d'une fonction rationnelle avec racine, on divise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $x$ présente dans la racine. 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = 1.$$ Graphiquement, cela signifie que la fonction $g$ a une asymptote horizontale en $y=1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. 4. **Calcul de $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ :** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{-x\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}} = \frac{1 + 0}{-\sqrt{1 + 0}} = -1.$$ Graphiquement, cela signifie que la fonction $g$ a une asymptote horizontale en $y=-1$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} g(x) = -1.$$