1. Énonçons le problème : Trouver toutes les limites possibles de la fonction $$f(x) = \frac{x^2}{\ln(x) - 1}$$ qui peuvent apparaître dans un devoir. 2. Rappelons que la fonction est définie pour $$x > 0$$ car $$\ln(x)$$ n'est défini que pour $$x > 0$$. 3. Étudions les limites aux points importants : - Limite en $$x \to 0^+$$ : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\ln(x) - 1}$$ Ici, $$x^2 \to 0$$ et $$\ln(x) \to -\infty$$ donc $$\ln(x) - 1 \to -\infty$$. Donc le dénominateur tend vers $$-\infty$$ et le numérateur vers 0. La limite est donc $$\frac{0}{-\infty} = 0$$. - Limite en $$x \to 1$$ : $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2}{\ln(x) - 1} = \frac{1^2}{\ln(1) - 1} = \frac{1}{0 - 1} = -1$$. Donc la fonction est définie et continue en 1 avec valeur $$-1$$. - Limite en $$x \to +\infty$$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x) - 1}$$ Ici, $$x^2 \to +\infty$$ et $$\ln(x) - 1 \to +\infty$$. Le numérateur croît beaucoup plus vite que le dénominateur logarithmique. Donc la limite est $$+\infty$$. - Limite en $$x \to e$$ (car $$\ln(e) = 1$$) : $$\lim_{x \to e} \frac{x^2}{\ln(x) - 1}$$ Le dénominateur tend vers 0, donc il faut étudier la limite de façon plus précise. Posons $$g(x) = \ln(x) - 1$$, alors $$g(e) = 0$$. La limite est de la forme $$\frac{e^2}{0}$$, donc potentiellement une limite infinie. Étudions la limite à gauche et à droite : - Pour $$x \to e^-$$, $$\ln(x) - 1 < 0$$ donc le dénominateur est négatif très petit. - Pour $$x \to e^+$$, $$\ln(x) - 1 > 0$$ donc le dénominateur est positif très petit. Donc : $$\lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty$$ 4. Résumé des limites importantes : - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$$ - $$f(1) = -1$$ - $$\lim_{x \to e^-} f(x) = -\infty$$ - $$\lim_{x \to e^+} f(x) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ Ces limites couvrent les cas classiques qu'on peut rencontrer dans un devoir sur cette fonction.