1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} + 1.$$ Nous devons déterminer les limites de $f(x)$ en $+\infty$ et $-\infty$ et interpréter graphiquement ces résultats. 2. **Calcul de la limite en $+\infty$ :** On étudie $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} + 1 \right).$$ On divise numérateur et dénominateur par $|x| = x$ (car $x > 0$) dans la fraction : $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x^2})}} = \frac{x}{|x| \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{x}{x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 + 1 = 2.$$ 3. **Calcul de la limite en $-\infty$ :** Pour $x \to -\infty$, on divise aussi par $|x| = -x$ (car $x < 0$) : $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{|x| \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{x}{-x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}.$$ Quand $x \to -\infty$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, donc $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} = -1.$$ Ainsi, $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 + 1 = 0.$$ 4. **Interprétation graphique :** La fonction $f$ tend vers 2 quand $x$ devient très grand positivement, et vers 0 quand $x$ devient très grand négativement. Cela signifie que la courbe de $f$ a deux asymptotes horizontales : - $y = 2$ quand $x \to +\infty$ - $y = 0$ quand $x \to -\infty$ Ces asymptotes indiquent les valeurs que la fonction approche mais ne dépasse pas aux extrémités du domaine. **Réponse finale :** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.}$$