1. **Énoncé du problème :** Déterminer par lecture graphique les limites de la fonction $f$, les valeurs de $f'$ en certains points, dresser les tableaux de signes de $f$ et $f''$, puis étudier la bijection et la dérivabilité de $f^{-1}$. 2. **Limites de $f$ :** - La courbe admet une asymptote horizontale $y=-1$ au voisinage de $+\infty$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1.$$ - La branche parabolique au voisinage de $-\infty$ indique que $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty.$$ - La limite de $f(x)$ en $x \to +\infty$ est donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1.$$ 3. **Valeurs de $f'$ en $x=-3$ et $x=1$ :** - $f'(-3)$ correspond à la pente de la tangente en $x=-3$. Par lecture graphique, la tangente est négative et assez raide, donc $f'(-3) < 0$. - $f'(1)$ correspond à la pente en $x=1$. La tangente semble horizontale, donc $$f'(1) = 0.$$ 4. **Tableaux de signes :** - $f$ est décroissante sur $(-\infty,1)$ puis croissante sur $(1,+\infty)$ car $f'(1)=0$ est un minimum local. - $f''$ change de signe en $x=1$ (point d'inflexion), donc $$f''(x) < 0 \text{ pour } x < 1, \quad f''(x) > 0 \text{ pour } x > 1.$$ 5. **Bijection de $f$ :** - $f$ est strictement monotone sur $\mathbb{R}$ (décroissante puis croissante avec un minimum), donc $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur l'intervalle $J = [m, +\infty[$ où $m = f(1)$. 6. **Valeurs de $f^{-1}$ :** - $f^{-1}(3)$ est la valeur de $x$ telle que $f(x) = 3$. Par lecture graphique, $f(0) \approx 0$, $f(-3) \approx 3$, donc $$f^{-1}(3) = -3.$$ - $f^{-1}(1)$ est la valeur de $x$ telle que $f(x) = 1$. Par lecture graphique, $f(-1) \approx 1$, donc $$f^{-1}(1) = -1.$$ 7. **Dérivabilité de $f^{-1}$ en 1 :** - $f^{-1}$ est dérivable en $y=1$ si $f'(f^{-1}(1)) \neq 0$. - Or $f'(-1)$ est négatif (pente négative), donc $$f^{-1} \text{ est dérivable en } 1.$$ 8. **Dérivabilité de $f^{-1}$ sur $]-1,+\infty[$ :** - Comme $f$ est strictement monotone et dérivable avec $f'(x) \neq 0$ sur cet intervalle, $f^{-1}$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$. 9. **Calcul de $(f^{-1})'(3)$ et équation de la tangente :** - Par la formule $$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$$ - Donc $$(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(-3)}.$$ - L'équation de la tangente à $C_{f^{-1}}$ en $y=3$ est $$y = (f^{-1})'(3)(x - 3) + f^{-1}(3) = \frac{1}{f'(-3)}(x - 3) - 3.$$