1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ lorsque $x \to +\infty$ et $x \to 0^+$. 2. **Formule et règles importantes :** La fonction est définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$. Pour étudier la limite en l'infini, on analyse le comportement de chaque facteur. Pour la limite en 0, on regarde la valeur de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives. 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** On développe d'abord l'expression : $$ f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 = x(x - 4\sqrt{x} + 4) = x^2 - 4x^{3/2} + 4x $$ Quand $x \to +\infty$, le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$. Donc : $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ :** On revient à la forme initiale : $$ f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 $$ Quand $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0$, donc $\sqrt{x} - 2 \to -2$. Donc : $$ (\sqrt{x} - 2)^2 \to (-2)^2 = 4 $$ Ainsi : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \times 4 = 0 $$ 5. **Interprétation :** La fonction tend vers 0 quand $x$ tend vers 0 par la droite, et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 6. **Étude de la dérivabilité à droite en 0 :** On calcule la dérivée $f'(x)$ pour $x > 0$ : $$ f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2 $$ Posons $g(x) = (\sqrt{x} - 2)^2$, alors $$ f'(x) = (1) \times g(x) + x \times g'(x) $$ Calculons $g'(x)$ : $$ g(x) = (\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4 $$ Donc : $$ g'(x) = 1 - 4 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} $$ Ainsi : $$ f'(x) = (\sqrt{x} - 2)^2 + x \left(1 - \frac{2}{\sqrt{x}}\right) = (\sqrt{x} - 2)^2 + x - 2\sqrt{x} $$ Développons $(\sqrt{x} - 2)^2 = x - 4\sqrt{x} + 4$ : $$ f'(x) = x - 4\sqrt{x} + 4 + x - 2\sqrt{x} = 2x - 6\sqrt{x} + 4 $$ Calculons la limite de $f'(x)$ quand $x \to 0^+$ : $$ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2 \times 0 - 6 \times 0 + 4 = 4 $$ Donc $f$ est dérivable à droite en 0 avec $f'_+(0) = 4$. 7. **Interprétation graphique :** La dérivée positive à droite en 0 signifie que la courbe $(C_f)$ a une tangente en 0 avec une pente de 4, donc la fonction croît rapidement à partir de 0. **Réponses finales :** $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$ $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $$ $$ f'_+(0) = 4 $$