1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $I = [2, +\infty[$ par $f(x) = x - 4\sqrt{x} - 2 - 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, puis calculer la limite de $\frac{f(x)}{x}$ lorsque $x \to +\infty$. 2. **Calcul des limites :** - Pour $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, on observe que $x$ domine les termes en $\sqrt{x}$ et les constantes, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 4\sqrt{x} - 3\right) = +\infty.$$ - Pour $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, on divise chaque terme par $x$ : $$\frac{f(x)}{x} = 1 - 4 \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{3}{x} = 1 - 4 \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ et $\frac{3}{x} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1.$$ 3. **Dérivée de $f$ :** - Montrons que pour tout $x \in ]2, +\infty[$, $$f'(x) = \frac{x - 6}{\sqrt{x} - 2 (\sqrt{x} - 2 + 2)}.$$ - Calculons $f'(x)$ à partir de $f(x) = x - 4\sqrt{x} - 3$ : $$f'(x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}.$$ - Simplifions l'expression donnée : $$\frac{x - 6}{\sqrt{x} - 2 (\sqrt{x} - 2 + 2)} = \frac{x - 6}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 4 - 4} = \frac{x - 6}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{x}} = \frac{x - 6}{-\sqrt{x}} = -\frac{x - 6}{\sqrt{x}}.$$ - Cette expression ne correspond pas à $f'(x)$ calculé directement, donc il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou la transcription. Nous utiliserons la dérivée correcte : $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}.$$ 4. **Tableau de variation de $f$ sur $]2, +\infty[$ :** - Le signe de $f'(x)$ dépend de $\sqrt{x} - 2$. - Pour $x > 2$, $\sqrt{x} > \sqrt{2} \approx 1.414$, donc $\sqrt{x} - 2 < 0$ pour $x < 4$ et $> 0$ pour $x > 4$. - Ainsi, $f$ est décroissante sur $]2,4[$ et croissante sur $]4, +\infty[$. 5. **Restriction $h$ de $f$ sur $J = [6, +\infty[$ :** - Montrons que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $h(J)$. - Comme $f$ est strictement croissante sur $[4, +\infty[$, donc sur $[6, +\infty[$, $h$ est injective et continue, donc $h^{-1}$ existe. - L'ensemble $h(J)$ est l'image de $[6, +\infty[$ par $f$. 6. **Expression de $h^{-1}$ :** - Vérifions que pour $x \in h(J)$, $$h^{-1}(x) = (\sqrt{x} + 2 - 2)^2 - 3.$$ - Cette expression semble incorrect ou incomplète. Supposons que l'expression correcte soit $$h^{-1}(x) = (\sqrt{x + 3} + 2)^2,$$ mais sans plus d'informations, on ne peut pas confirmer. 7. **Tableau de variation de $h^{-1}$ :** - Puisque $h$ est strictement croissante, $h^{-1}$ est aussi strictement croissante sur $h(J)$. **Réponses finales :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1,$$ $$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}},$$ $f$ décroissante sur $]2,4[$ et croissante sur $]4, +\infty[$, $h$ admet une réciproque $h^{-1}$ sur $h(J)$, $h^{-1}$ est strictement croissante sur $h(J)$.