1. Calculer les limites suivantes: 1) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 3x^2 + x - 22}{x-2}\) - Problème: Trouver la limite d'une fonction rationnelle où le dénominateur tend vers 0. - Formule: Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\), on peut factoriser ou utiliser la règle de l'Hôpital. - Calcul: \(x^3 + 3x^2 + x - 22\) à \(x=2\) vaut \(8 + 12 + 2 - 22 = 0\), donc forme \(\frac{0}{0}\). - Factorisation du numérateur: \(x^3 + 3x^2 + x - 22 = (x-2)(x^2 + 5x + 11)\). - Limite: \(\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 5x + 11)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 5x + 11) = 4 + 10 + 11 = 25\). 2) \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{4x+5} - 3}{x^2 - 1}\) - Forme \(\frac{0}{0}\) car \(\sqrt{9} - 3 = 0\) et \(1 - 1 = 0\). - Rationaliser le numérateur: multiplier par \(\frac{\sqrt{4x+5} + 3}{\sqrt{4x+5} + 3}\). - Numérateur devient \((4x+5) - 9 = 4x - 4 = 4(x-1)\). - Dénominateur: \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). - Simplification: \(\frac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{4x+5} + 3)} = \frac{4}{(x+1)(\sqrt{4x+5} + 3)}\). - Limite: \(x \to 1\) donne \(\frac{4}{2 \times 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3) \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt[3]{x^2 + x + 9} - 3}\) - Forme \(\frac{0}{0}\) car \(\sqrt[3]{9} - 3 = 0\). - Poser \(y = \sqrt[3]{x^2 + x + 9}\), alors \(y^3 = x^2 + x + 9\). - Utiliser l'identité \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\). - Multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt[3]{x^2 + x + 9}^2 + 3\sqrt[3]{x^2 + x + 9} + 9\). - Dénominateur devient \(x^2 + x + 9 - 27 = x^2 + x - 18\). - Expression: \(\frac{x(\sqrt[3]{x^2 + x + 9}^2 + 3\sqrt[3]{x^2 + x + 9} + 9)}{x^2 + x - 18}\). - À \(x=0\), dénominateur \(-18\), numérateur \(0\), donc limite 0. 4) \(\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-4}}\) - \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). - Expression: \(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{(x-2)(x+2)}} = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x+2}}\). - Limite \(x \to 2^+\) donne \(\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\). 5) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - x - x^2}{x^2 + 3x}\) - Diviser numérateur et dénominateur par \(x^2\). - \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2} - 1}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{0 - 0 - 1}{1 + 0} = -1\). 6) \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3x + 7 - x}\) - Simplifier sous la racine: \(x^3 + 2x + 7\). - Pour \(x \to +\infty\), \(\sqrt[3]{x^3(1 + \frac{2}{x^2} + \frac{7}{x^3})} = x \sqrt[3]{1 + 0 + 0} = +\infty\). 7) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 16} - 4}{x^2 - x}\) - Forme \(\frac{0}{0}\) car \(\sqrt{16} - 4 = 0\) et \(0 - 0 = 0\). - Rationaliser numérateur: multiplier par \(\frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 16} + 4}\). - Numérateur devient \(x^2 + 16 - 16 = x^2\). - Dénominateur: \(x^2 - x = x(x-1)\). - Expression: \(\frac{x^2}{x(x-1)(\sqrt{x^2 + 16} + 4)} = \frac{x}{(x-1)(\sqrt{x^2 + 16} + 4)}\). - Limite \(x \to 0\) donne \(\frac{0}{-1 \times 8} = 0\). 8) \(\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 2} - 5}{x - 2}\) - Forme \(\frac{0}{0}\) car \(\sqrt{9} + \sqrt{4} - 5 = 3 + 2 - 5 = 0\). - Poser \(f(x) = \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 2}\). - Dérivée: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}\). - Limite est la dérivée en 2: \(f'(2) = \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}\). 9) \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 + 3x - 7} - 2x\) - Factoriser \(x\) dans la racine: \(x \sqrt{4 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^2}}\). - Expression: \(x(\sqrt{4 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^2}} - 2)\). - Utiliser la conjugaison: multiplier par \(\frac{\sqrt{4x^2 + 3x - 7} + 2x}{\sqrt{4x^2 + 3x - 7} + 2x}\). - Résultat: \(\frac{4x^2 + 3x - 7 - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + 3x - 7} + 2x} = \frac{3x - 7}{\sqrt{4x^2 + 3x - 7} + 2x}\). - Diviser numérateur et dénominateur par \(x\): \(\frac{3 - \frac{7}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^2}} + 2}\). - Limite: \(\frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}\). --- 2. Étudier la continuité de \(f\) en 3 pour \(f(x) = \frac{x^3 - x - 24}{x^2 - 9}, x \neq 3\) et \(f(3) = \frac{13}{3}\) - Dénominateur s'annule en 3, vérifier limite. - Factoriser: \(x^3 - x - 24 = (x-3)(x^2 + 3x + 8)\), \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\). - Simplifier: \(f(x) = \frac{x^2 + 3x + 8}{x+3}\) pour \(x \neq 3\). - Limite \(x \to 3\): \(\frac{9 + 9 + 8}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}\). - \(f(3) = \frac{13}{3}\), donc \(f\) est continue en 3. --- 3. Étudier la continuité de \(f\) en 4 pour \(f(x) = \frac{x^3 + x - 2}{x^2 - 1}, x > 4\), \(f(x) = \frac{x \sqrt{x} - 8}{x - 4}, x < 4\), \(f(4) = 2\) - Calculer \(\lim_{x \to 4^-} f(x)\): - Numérateur \(x \sqrt{x} - 8\), à 4: \(4 \times 2 - 8 = 0\), dénominateur \(0\), forme \(\frac{0}{0}\). - Dérivée numérateur: \(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{x}\). - Dérivée dénominateur: 1. - Par règle de l'Hôpital: \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = \frac{3}{2} \sqrt{4} = \frac{3}{2} \times 2 = 3\). - Calculer \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{x^3 + x - 2}{x^2 - 1}\). - Dénominateur \(4^2 - 1 = 15\), numérateur \(64 + 4 - 2 = 66\). - Limite \(= \frac{66}{15} = 4.4\). - \(f(4) = 2\). - Les limites à gauche et droite ne sont pas égales, donc \(f\) n'est pas continue en 4. --- 4. Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\) 1) Montrer que \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(a \in ]1;2[\) - \(f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0\) - \(f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0\) - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution \(a \in ]1;2[\). - \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est strictement croissante, donc solution unique. 2) Encadrement de \(a\) d'amplitude 0,125 - Tester \(f(1.5) = 3.375 + 1.5 - 3 = 1.875 > 0\) - Tester \(f(1.25) = 1.953125 + 1.25 - 3 = 0.203125 > 0\) - Tester \(f(1.125) = 1.423828125 + 1.125 - 3 = -0.451171875 < 0\) - Donc \(a \in [1.125; 1.25]\) d'amplitude \(0.125\). --- 5. Soit \(f(x) = x + 2\sqrt{x-1}\) définie sur \(I = [1, +\infty[\) 1) Ensemble de définition: \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\), donc \(I = [1, +\infty[\). - Limite en 1: \(f(1) = 1 + 0 = 1\). - Limite en \(+\infty\): \(\lim_{x \to +\infty} x + 2\sqrt{x-1} = +\infty\). 2) a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque de \(I\) vers \(J\) - \(f'(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x-1}} > 0\) pour \(x > 1\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(I\). - Donc \(f\) est bijective de \(I\) vers \(J = [f(1), +\infty[ = [1, +\infty[\). b) Tableau de variation de \(f^{-1}\) sur \(J\) - Puisque \(f\) est strictement croissante, \(f^{-1}\) est aussi strictement croissante sur \(J\). c) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\) - Poser \(y = f(x) = x + 2\sqrt{x-1}\). - Poser \(t = \sqrt{x-1} \Rightarrow x = t^2 + 1\). - Alors \(y = t^2 + 1 + 2t = (t+1)^2\). - Donc \(t + 1 = \sqrt{y} \Rightarrow t = \sqrt{y} - 1\). - \(x = t^2 + 1 = (\sqrt{y} - 1)^2 + 1 = y - 2\sqrt{y} + 1 + 1 = y - 2\sqrt{y} + 2\). - Donc \(f^{-1}(y) = y - 2\sqrt{y} + 2\) pour \(y \geq 1\). --- Réponses finales: 1) 25 2) \(\frac{1}{3}\) 3) 0 4) \(\frac{1}{2}\) 5) -1 6) +\infty 7) 0 8) \(\frac{5}{12}\) 9) \(\frac{3}{4}\) Exercice 2: \(f\) est continue en 3. Exercice 3: \(f\) n'est pas continue en 4. Exercice 4: Solution unique \(a \in ]1;2[\), encadrement \([1.125; 1.25]\). Exercice 5: \(f\) définie sur \([1, +\infty[\), bijection sur \([1, +\infty[\), \(f^{-1}(x) = x - 2\sqrt{x} + 2\).