1. **Déterminer la limite en 0 des fonctions données** **a)** $f(x) = \frac{3x}{\sin(3x)}$ - Rappel : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ donc $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ - On pose $t = 3x$, alors quand $x \to 0$, $t \to 0$ - Donc $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ **b)** $f(x) = \frac{\sin x + \sin(2x)}{\sin x - \sin(2x)}$ - Utilisons les développements limités : $\sin x \sim x$, $\sin 2x \sim 2x$ quand $x \to 0$ - Numérateur $\sim x + 2x = 3x$ - Dénominateur $\sim x - 2x = -x$ - Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{-x} = -3$ **c)** $f(x) = \frac{\tan(4x)}{\sin(3x)}$ - Pour $x \to 0$, $\tan(4x) \sim 4x$, $\sin(3x) \sim 3x$ - Donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$ 2. **Calculer les limites suivantes** **a)** $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \cos x}{\sin 4x}$ - Calculons numérateur : $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Numérateur $= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ - Dénominateur : $\sin 4x$ avec $x = \frac{\pi}{6}$, $4x = \frac{2\pi}{3}$ - $\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Donc limite $= \frac{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ **b)** $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x + \sqrt{3} \cos x}{-\sin(2x) + \sqrt{3} \cos(2x)}$ - Calculons numérateur : $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ - Numérateur $= \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ - Dénominateur : $-\sin(2 \times \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \cos(2 \times \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3} \cos \frac{2\pi}{3}$ - $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ - Dénominateur $= -\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$ - Limite $= \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -1$ **c)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 3x}{x}$ - Divisons numérateur et dénominateur par $x$ (positif pour $x \to +\infty$) - $= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + 3 = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3 = 1 + 3 = 4$ **d)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + 5} - x}{\sqrt{x^2 - x}}$ - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{x + 5} \sim \sqrt{x} = x^{1/2}$, $x$ est dominant - Numérateur $\sim x^{1/2} - x = -x + o(x)$ - Dénominateur $\sim \sqrt{x^2} = x$ - Donc limite $= \lim_{x \to +\infty} \frac{-x + o(x)}{x} = -1$ **e)** $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 4x + 3} - x$ - Factorisons sous la racine : $\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2})} = x \sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}$ - Développons $\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ pour $u \to 0$ - Ici $u = \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}$ - Donc $\sqrt{x^2 + 4x + 3} \approx x \left(1 + \frac{2}{x} + o(\frac{1}{x})\right) = x + 2 + o(1)$ - Limite $= (x + 2 + o(1)) - x = 2$ **f)** $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 4x + 3 + 2x + 1}$ - Simplifions sous la racine : $x^2 + 6x + 4$ - $= \sqrt{x^2 + 6x + 4} = x \sqrt{1 + \frac{6}{x} + \frac{4}{x^2}}$ - Comme précédemment, $\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ - Donc $\sqrt{x^2 + 6x + 4} \approx x \left(1 + \frac{3}{x} + o(\frac{1}{x})\right) = x + 3 + o(1)$ - Limite $= +\infty$ 3. **Étudier le comportement en $+\infty$** **a)** $f(x) = x^2 - 2 \sin x$ - $\sin x$ est bornée entre $-1$ et $1$ - Donc $-2 \sin x$ est borné entre $-2$ et $2$ - Le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$ - Donc $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ **b)** $f(x) = \frac{2x + \sin x}{x}$ - $= \frac{2x}{x} + \frac{\sin x}{x} = 2 + \frac{\sin x}{x}$ - Comme $\frac{\sin x}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ - Donc $f(x) \to 2$ **c)** $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$ - $\cos x$ est bornée entre $-1$ et $1$ - $1 - x \to -\infty$ - Donc $f(x) \to 0$ (car numérateur borné, dénominateur tend vers $-\infty$) **d)** $f(x) = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$ - Donc $f(x) \to 1$