1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f(x) = x - 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$ en différents points et étudier ses propriétés. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction $f$ est définie pour $x$ tel que $x - 1 \neq 0$ car on divise par $\sqrt[3]{x-1}$. Donc, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. 3. **Calcul des limites en $x \to 1^-$ et $x \to 1^+$ :** - Pour $x \to 1^-$, $x-1$ est négatif et tend vers 0. Alors $\sqrt[3]{x-1} \to 0^-$, donc $\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \to -\infty$. Ainsi, $$f(x) = x - 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \approx 0 - (-\infty) = +\infty.$$ - Pour $x \to 1^+$, $x-1$ est positif et tend vers 0. Alors $\sqrt[3]{x-1} \to 0^+$, donc $\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \to +\infty$. Ainsi, $$f(x) = x - 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \approx 0 - (+\infty) = -\infty.$$ 4. **Interprétation géométrique :** La fonction a une discontinuité de type infini en $x=1$ avec un saut vertical : la courbe tend vers $+\infty$ à gauche et $-\infty$ à droite. 5. **Calcul de la limite en $x \to +\infty$ :** Quand $x \to +\infty$, $\sqrt[3]{x-1} \sim \sqrt[3]{x}$ grand. Donc, $$\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \to 0,$$ et $$f(x) = x - 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} \sim x - 1.$$ Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) - (x-1) = 0,$$ ce qui montre que la droite $\Delta : y = x - 1$ est une asymptote oblique de $f$ en $+\infty$. **Réponse finale :** - $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ avec asymptote oblique $y = x - 1$.