1. Calculer les limites suivantes : 1) $$\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{3}{2}x^8 - x^3 - 2x\right)$$ - Le terme dominant est $$-\frac{3}{2}x^8$$ car $$x^8$$ croît plus vite que $$x^3$$ ou $$x$$. - Comme $$x \to -\infty$$, $$x^8 \to +\infty$$ (car puissance paire). - Donc $$-\frac{3}{2}x^8 \to -\infty$$. - Conclusion : $$\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{3}{2}x^8 - x^3 - 2x\right) = -\infty$$. 2) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 7}{5x^5 - x - 3}$$ - Le terme dominant au numérateur est $$x^2$$, au dénominateur $$5x^5$$. - Pour grandes valeurs de $$x$$, la fraction se comporte comme $$\frac{x^2}{5x^5} = \frac{1}{5x^3}$$. - Comme $$x \to +\infty$$, $$\frac{1}{5x^3} \to 0$$. - Conclusion : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 7}{5x^5 - x - 3} = 0$$. 3) $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + x - 2}{2x^2 + 3x - 5}$$ - Factoriser numérateur : $$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$$. - Factoriser dénominateur : $$2x^2 + 3x - 5 = (2x - 2)(x + \frac{5}{2})$$ ? Vérifions : $$2x^2 + 3x - 5 = (2x - 2)(x + 2.5) = 2x^2 + 5x - 2x - 5 = 2x^2 + 3x - 5$$. - Donc $$\lim_{x \to -1} \frac{(x+2)(x-1)}{(2x - 2)(x + 2.5)} = \frac{(-1+2)(-1-1)}{(2(-1) - 2)(-1 + 2.5)} = \frac{(1)(-2)}{(-4)(1.5)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$. 4) $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 2x - 5x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$$ - Factoriser sous la racine : $$x^2 - 3x = x^2(1 - \frac{3}{x})$$. - Donc $$\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{x^2} \sqrt{1 - \frac{3}{x}} = |x| \sqrt{1 - \frac{3}{x}}$$. - Pour $$x \to +\infty$$, $$|x| = x$$ et $$\sqrt{1 - \frac{3}{x}} \to \sqrt{1} = 1$$. - Conclusion : $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x} = +\infty$$. Q_count: 4