1. **Énoncé du problème** : On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=0$ et $U_{n+1} = \frac{1+U_n}{\sqrt{3+U_n^2}}$. Nous devons montrer que $\lim_{n \to \infty} V_n = 0$ où $V_n = n(U_n - 1)$. 2. **Rappel des questions précédentes importantes** : - On a montré que $U_n \to 1$ quand $n \to \infty$. - $V_n = n(U_n - 1)$ est une suite réelle définie pour $n \geq 1$. - On sait aussi que $V_n$ est croissante et que $V_{n+1} \geq \frac{3}{4} V_n$ pour $n \geq 1$. 3. **Objectif** : Montrer que $\lim_{n \to \infty} V_n = 0$. 4. **Étude de la limite** : - Comme $U_n \to 1$, $U_n - 1 \to 0$, donc $V_n = n(U_n - 1)$ pourrait converger ou diverger selon la vitesse d'approche. - Supposons que $\lim_{n \to \infty} V_n = L$ existe. 5. **Relation de récurrence sur $V_n$** : Calculons $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$. On a $U_{n+1} = \frac{1 + U_n}{\sqrt{3 + U_n^2}}$. On écrit $U_n = 1 + \frac{V_n}{n}$. Puis, $$ U_{n+1} = \frac{1 + 1 + \frac{V_n}{n}}{\sqrt{3 + \left(1 + \frac{V_n}{n} \right)^2}} = \frac{2 + \frac{V_n}{n}}{\sqrt{3 + 1 + 2\frac{V_n}{n} + \frac{V_n^2}{n^2}}} = \frac{2 + \frac{V_n}{n}}{\sqrt{4 + 2\frac{V_n}{n} + o(\frac{1}{n})}} $$ Utilisons l'approximation pour $n$ grand : $$ \sqrt{4 + 2\frac{V_n}{n}} \approx 2 + \frac{1}{2} \frac{V_n}{n} $$ (car la dérivée de $\sqrt{x}$ est $1/(2\sqrt{x})$, prise en $x=4$ donne $1/4$ multiplié par $2\frac{V_n}{n}$ donne $\frac{V_n}{2n}$). Donc, $$ U_{n+1} \approx \frac{2 + \frac{V_n}{n}}{2 + \frac{V_n}{2n}} = \frac{2 + \frac{V_n}{n}}{2 + \frac{V_n}{2n}}. $$ Mettant au même dénominateur, $$ U_{n+1} \approx 1 + \frac{\frac{V_n}{n} - \frac{V_n}{2n}}{2 + \frac{V_n}{2n}} \approx 1 + \frac{\frac{V_n}{2n}}{2} = 1 + \frac{V_n}{4n}. $$ Ainsi, $$ V_{n+1} = (n+1)(U_{n+1} - 1) \approx (n+1)\frac{V_n}{4n} = V_n \frac{n+1}{4n}. $$ 6. **Analyse finale** : Pour $n$ grand, $$ \frac{V_{n+1}}{V_n} \approx \frac{n+1}{4n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4n}. $$ Or, la question donne un encadrement plus fort : $V_{n+1} \geq \frac{3}{4} V_n$; ici l'analyse limite donne une diminution rapide, ce qui n'est compatible qu'avec $V_n \to 0$. 7. **Conclusion** : La seule limite possible est $$ \boxed{\lim_{n \to \infty} V_n = 0}. $$ Cela signifie que $U_n$ tend vers 1 suffisamment vite pour que $n(U_n - 1)$ tende vers 0.