1. **Énoncé du problème** : Calculer la limite de la suite $d_n = \frac{1 + (-1)^n \sqrt{1+n^2}}{2n + \cos(n)}$ lorsque $n \to +\infty$, si elle existe. 2. **Analyse du numérateur** : Le numérateur est $1 + (-1)^n \sqrt{1+n^2}$. - Pour $n$ pair, $(-1)^n = 1$, donc le numérateur est $1 + \sqrt{1+n^2}$. - Pour $n$ impair, $(-1)^n = -1$, donc le numérateur est $1 - \sqrt{1+n^2}$. 3. **Analyse du dénominateur** : Le dénominateur est $2n + \cos(n)$. - Lorsque $n \to +\infty$, $2n$ domine et $\cos(n)$ est borné entre $-1$ et $1$. - Donc, $2n + \cos(n) \sim 2n$. 4. **Comportement asymptotique du numérateur** : - $\sqrt{1+n^2} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} = n + \frac{1}{2n} + o(\frac{1}{n})$. - Pour $n$ pair, numérateur $\sim 1 + n + \frac{1}{2n}$. - Pour $n$ impair, numérateur $\sim 1 - n - \frac{1}{2n}$. 5. **Calcul des limites des sous-suites** : - Pour $n$ pair : $$d_{2k} \sim \frac{1 + 2k + \frac{1}{4k}}{4k} = \frac{2k + 1 + \frac{1}{4k}}{4k} = \frac{2k}{4k} + \frac{1}{4k} + \frac{1}{16k^2} = \frac{1}{2} + \text{termes qui tendent vers } 0.$$ Donc $\lim_{k \to +\infty} d_{2k} = \frac{1}{2}$. - Pour $n$ impair : $$d_{2k+1} \sim \frac{1 - (2k+1) - \frac{1}{2(2k+1)}}{2(2k+1)} = \frac{-2k - \frac{1}{2(2k+1)}}{4k + 2} + \text{termes négligeables}.$$ Le terme dominant est $\frac{-2k}{4k} = -\frac{1}{2}$. Donc $\lim_{k \to +\infty} d_{2k+1} = -\frac{1}{2}$. 6. **Conclusion** : Les limites des sous-suites paire et impaire sont différentes, donc la suite $d_n$ n'a pas de limite. **Réponse finale** : La suite $d_n$ n'admet pas de limite lorsque $n \to +\infty$ car les sous-suites paire et impaire convergent vers des limites différentes, respectivement $\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}$.