1. **Énoncé du problème :** Déterminer la limite de la suite $u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1}$ lorsque $n \to \infty$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour les suites rationnelles où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, la limite dépend des degrés des polynômes. - Si le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur, la limite est le rapport des coefficients dominants. - Si le degré du numérateur est supérieur, la limite est $\pm \infty$. - Si le degré du numérateur est inférieur, la limite est 0. 3. **Travail intermédiaire :** - Le degré du numérateur est 2 (terme dominant $5n^2$). - Le degré du dénominateur est 2 (terme dominant $n^2$). On divise numérateur et dénominateur par $n^2$ : $$u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1} = \frac{5 - \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$$ 4. **Calcul de la limite :** Quand $n \to \infty$, les termes $\frac{3}{n}$, $\frac{7}{n^2}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0. Donc : $$\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{5 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 5$$ 5. **Conclusion :** La limite de la suite $u_n$ est 5.