1. Énonçons le problème : Montrer que $$\lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 1}{2n + 1} = 2$$ à partir de la définition de limite. 2. Rappel de la définition de limite pour une suite : Pour tout $$\varepsilon > 0$$, il existe un entier $$N$$ tel que pour tout $$n > N$$, $$\left| \frac{4n - 1}{2n + 1} - 2 \right| < \varepsilon$$. 3. Calculons l'expression à l'intérieur de la valeur absolue : $$ \left| \frac{4n - 1}{2n + 1} - 2 \right| = \left| \frac{4n - 1 - 2(2n + 1)}{2n + 1} \right| = \left| \frac{4n - 1 - 4n - 2}{2n + 1} \right| = \left| \frac{-3}{2n + 1} \right| = \frac{3}{2n + 1} $$ 4. Pour que $$\frac{3}{2n + 1} < \varepsilon$$, il faut que $$2n + 1 > \frac{3}{\varepsilon}$$. 5. Résolvons pour $$n$$ : $$ 2n > \frac{3}{\varepsilon} - 1 \implies n > \frac{\frac{3}{\varepsilon} - 1}{2} $$ 6. Choisissons donc $$N = \left\lceil \frac{\frac{3}{\varepsilon} - 1}{2} \right\rceil$$. 7. Ainsi, pour tout $$n > N$$, on a $$\left| \frac{4n - 1}{2n + 1} - 2 \right| < \varepsilon$$, ce qui prouve que $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{4n - 1}{2n + 1} = 2 $$ Ceci conclut la démonstration.