1. **Énoncé du problème :** Soit $x \in ]0,1[$, calculer la limite de la somme partielle de la série géométrique $$S_n = \sum_{k=0}^n x^k$$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 2. **Formule utilisée :** La somme partielle d'une série géométrique de raison $x$ (avec $|x|<1$) est donnée par : $$S_n = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$$ 3. **Règles importantes :** - Pour $|x|<1$, la puissance $x^{n+1}$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$. - La limite de la somme partielle est donc la somme de la série géométrique infinie. 4. **Calcul de la limite :** $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} = \frac{1 - 0}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$$ 5. **Interprétation :** La série géométrique converge vers $\frac{1}{1-x}$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0,1[$. **Réponse finale :** $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1}{1-x}}$$