1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $f(x) = 1 + \frac{\ln x}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0 par valeurs positives, c'est-à-dire $x \to 0^+$. 2. Rappelons que $\ln x$ tend vers $-\infty$ quand $x \to 0^+$, et que $x$ tend vers 0. 3. La forme de la limite est donc de type $1 + \frac{-\infty}{0^+}$, ce qui nécessite une analyse plus précise. 4. Posons $x = e^{-t}$ avec $t \to +\infty$ quand $x \to 0^+$. 5. Alors $\ln x = \ln(e^{-t}) = -t$ et $x = e^{-t}$. 6. La fonction devient : $$ 1 + \frac{\ln x}{x} = 1 + \frac{-t}{e^{-t}} = 1 - t e^{t}. $$ 7. Quand $t \to +\infty$, $e^{t}$ croît plus vite que toute puissance de $t$, donc $t e^{t} \to +\infty$. 8. Ainsi, $1 - t e^{t} \to -\infty$. 9. Conclusion : $$ \lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{\ln x}{x}\right) = -\infty. $$