1. Énonçons le problème : Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$$. 2. Rappelons la règle importante : lorsque le dénominateur croît plus rapidement que le numérateur, la fraction tend vers 0. 3. Ici, le numérateur est $(\ln x)^2$ et le dénominateur est $x$. 4. Sachant que $\ln x$ croît plus lentement que toute puissance de $x$, on peut appliquer la règle de l'Hôpital pour confirmer la limite. 5. Appliquons la règle de l'Hôpital : dérivons numérateur et dénominateur par rapport à $x$. $$\text{Numérateur}' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$$ $$\text{Dénominateur}' = 1$$ 6. La limite devient alors : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 \ln x}{x}$$ 7. Réappliquons la règle de l'Hôpital pour cette nouvelle limite : $$\text{Numérateur}'' = \frac{2}{x}$$ $$\text{Dénominateur}'' = 0$$ 8. En fait, la limite de $\frac{2 \ln x}{x}$ quand $x \to +\infty$ est aussi 0 car $\ln x$ croît plus lentement que $x$. 9. Donc, la limite initiale est : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$$ Ceci conclut la démonstration.