1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite de la fonction $f$ en $0$ puis en $+\infty$ pour la fonction $f(x) = \ln(x) - x^2$.\n\n2. **Rappel des définitions et règles importantes** :\n- La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x>0$, tend vers $-\infty$ quand $x \to 0^+$ et tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$.\n- La fonction $x^2$ est toujours positive et tend vers $0$ quand $x \to 0$ et vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$.\n- La limite d'une somme est la somme des limites si elles existent ou sont infinies.\n\n3. **Limite en $0^+$** :\n$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln(x) - x^2) = \lim_{x \to 0^+} \ln(x) - \lim_{x \to 0^+} x^2 = -\infty - 0 = -\infty.$$\nExplication : $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ plus rapidement que $x^2$ tend vers $0$, donc la limite est $-\infty$.\n\n4. **Limite en $+\infty$** :\n$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x^2) = \lim_{x \to +\infty} \ln(x) - \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty - +\infty.$$\nCette forme est indéterminée, mais comme $x^2$ croît beaucoup plus vite que $\ln(x)$, on a :\n$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.$$\n\n**Conclusion** :\n- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$.\n- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.