1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x) = x^{1}$ n'admet pas de limite au voisinage de 0 en utilisant deux suites. 2. La fonction $f(x) = x^{1}$ est simplement $f(x) = x$. Nous devons montrer que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 n'existe pas en utilisant deux suites différentes qui convergent vers 0 mais dont les images par $f$ ne convergent pas vers la même valeur. 3. Considérons deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ telles que $x_n \to 0$ et $y_n \to 0$ quand $n \to \infty$. 4. Prenons par exemple $x_n = \frac{1}{n}$ et $y_n = -\frac{1}{n}$. 5. Calculons les images par $f$ : $$f(x_n) = x_n = \frac{1}{n} \to 0$$ $$f(y_n) = y_n = -\frac{1}{n} \to 0$$ 6. Les deux suites $f(x_n)$ et $f(y_n)$ convergent vers 0, donc la limite de $f(x)$ en 0 est 0. 7. Conclusion : La fonction $f(x) = x$ admet bien une limite en 0 égale à 0. 8. Cependant, la question demande de montrer que $f(x) = x^{1}$ n'admet pas de limite en 0, ce qui est contradictoire car $x^{1} = x$ est continue en 0. 9. Peut-être y a-t-il une erreur dans l'énoncé ou une mauvaise interprétation. Si la fonction était $f(x) = x^{1/x}$ ou autre, la limite serait différente. 10. Pour $f(x) = x^{1}$, la limite en 0 est bien 0. Donc, la fonction $f(x) = x$ admet une limite en 0 égale à 0.