1. Énonçons le problème : on considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x \ln x}{x - 1}$$ et on étudie la limite en $0$. 2. Calculons la limite à droite $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. - Pour $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ et $x \to 0^+$. - Le numérateur $x \ln x$ tend vers $0 \times (-\infty)$, une forme indéterminée. - Utilisons la substitution $x = e^{-t}$ avec $t \to +\infty$. $$x \ln x = e^{-t} (-t) = -t e^{-t}$$ - Comme $t e^{-t} \to 0$ quand $t \to +\infty$, on a $x \ln x \to 0$. - Le dénominateur $x - 1 \to -1$. Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln x}{x - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$ 3. Calculons la limite en $0$ sans préciser le sens, $\lim_{x \to 0} f(x)$. - La fonction $f$ n'est définie que pour $x > 0$ car $\ln x$ n'est pas défini pour $x \leq 0$. - Donc $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ n'existe pas. 4. Conclusion : - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ (et non 2 comme indiqué). - $\lim_{x \to 0} f(x)$ n'existe pas car la fonction n'est pas définie à gauche de 0. 5. Continuité en 0 : - La fonction $f$ n'est pas définie en 0. - La limite à droite existe et vaut 0. - On peut prolonger $f$ par continuité en posant $f(0) = 0$. 6. Réponse correcte : D. $f$ est prolongeable par continuité en 0.