1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $|x| \to +\infty$ et montrer que $f$ est continue en $x=1$. 2. **Définition de la fonction :** $$f(x) = \begin{cases} x + \sqrt[3]{1-x} & \text{si } x < 1 \\ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ 3. **Calcul de la limite en $+\infty$ :** Pour $x \to +\infty$, on utilise la définition pour $x \geq 1$ : $$f(x) = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - x = x^{2/3} + x^{1/3} - x$$ On compare les termes en fonction de leur ordre de croissance : - $x$ croît plus vite que $x^{2/3}$ et $x^{1/3}$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^{2/3} + x^{1/3} - x) = -\infty$$ 4. **Calcul de la limite en $-\infty$ :** Pour $x \to -\infty$, on utilise la définition pour $x < 1$ : $$f(x) = x + \sqrt[3]{1 - x}$$ Quand $x \to -\infty$, $1 - x \to +\infty$, donc $$\sqrt[3]{1 - x} \sim ( -x )^{1/3}$$ Le terme $x$ tend vers $-\infty$ plus rapidement que $\sqrt[3]{1 - x}$ qui tend vers $+\infty$ mais plus lentement. Donc, $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ 5. **Continuité en $x=1$ :** - Limite à gauche : $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + \sqrt[3]{1 - 1} = 1 + 0 = 1$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1} - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$$ - Valeur en $x=1$ : $$f(1) = 1$$ Les limites à gauche et à droite sont égales à la valeur de la fonction en 1, donc $f$ est continue en $x=1$. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ $f$ est continue en $x=1$.