1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = 3 + x - \sqrt{x^2 + 5}$ sur $\mathbb{R}$. 2. **Calcul de la limite en $+\infty$ :** On veut montrer que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$. 3. **Méthode :** Pour $x \to +\infty$, on analyse $f(x) = 3 + x - \sqrt{x^2 + 5}$. 4. **Simplification :** On écrit $\sqrt{x^2 + 5} = |x| \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} = x \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}$ car $x > 0$. 5. **Développement de la racine :** Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} \approx 1 + \frac{5}{2x^2}$ (développement limité au premier ordre). 6. **Substitution :** Donc $\sqrt{x^2 + 5} \approx x \left(1 + \frac{5}{2x^2}\right) = x + \frac{5}{2x}$. 7. **Calcul de la limite :** Alors $$ f(x) \approx 3 + x - \left(x + \frac{5}{2x}\right) = 3 - \frac{5}{2x}. $$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{5}{2x} \to 0$, donc $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3. $$ 8. **Interprétation géométrique :** La courbe $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 3$ quand $x \to +\infty$. 9. **Asymptote oblique en $-\infty$ :** Montrer que la droite $\Delta : y = 2x + 3$ est asymptote oblique de $C_f$ en $-\infty$. 10. **Calcul du comportement de $f(x)$ quand $x \to -\infty$ :** On écrit $\sqrt{x^2 + 5} = |x| \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} = -x \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}$ car $x < 0$. 11. **Développement limité :** Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} \approx 1 + \frac{5}{2x^2}$. 12. **Substitution :** Donc $$ \sqrt{x^2 + 5} \approx -x \left(1 + \frac{5}{2x^2}\right) = -x - \frac{5}{2x}. $$ 13. **Calcul de $f(x)$ :** $$ f(x) = 3 + x - \sqrt{x^2 + 5} \approx 3 + x - \left(-x - \frac{5}{2x}\right) = 3 + x + x + \frac{5}{2x} = 3 + 2x + \frac{5}{2x}. $$ 14. **Limite de la différence avec la droite :** On calcule $$ \lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - (2x + 3)\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{2x} = 0. $$ Cela montre que $y = 2x + 3$ est une asymptote oblique en $-\infty$. 15. **Intersection avec l'axe des abscisses :** On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. 16. **Équation :** $$ 3 + x - \sqrt{x^2 + 5} = 0 \implies \sqrt{x^2 + 5} = 3 + x. $$ 17. **Conditions :** Le membre de droite doit être positif, donc $3 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. 18. **Élévation au carré :** $$ x^2 + 5 = (3 + x)^2 = x^2 + 6x + 9. $$ 19. **Simplification :** $$ 5 = 6x + 9 \implies 6x = -4 \implies x = -\frac{2}{3}. $$ 20. **Vérification :** Pour $x = -\frac{2}{3}$, $3 + x = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} > 0$, donc la solution est valide. 21. **Coordonnées du point d'intersection :** $$ \left(-\frac{2}{3}, 0\right). $$ **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ avec asymptote horizontale $y=3$. - $y = 2x + 3$ est asymptote oblique en $-\infty$. - La courbe coupe l'axe des abscisses en $\left(-\frac{2}{3}, 0\right)$.