1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite suivante : $$\lim_{x \to +\infty} \left(\tan^{-1}(2\sqrt{1-x}) + x - 1\right)$$ 2. **Rappel des propriétés importantes :** - La fonction $\tan^{-1}(y)$ (ou arctangente) est définie pour tout réel $y$ et tend vers $\frac{\pi}{2}$ lorsque $y \to +\infty$ et vers $-\frac{\pi}{2}$ lorsque $y \to -\infty$. - Pour $x \to +\infty$, $1-x \to -\infty$, donc $\sqrt{1-x}$ n'est pas défini dans $\mathbb{R}$, mais si on considère la racine carrée dans $\mathbb{C}$, cela devient complexe. Supposons que la racine soit prise comme racine carrée principale dans les réels, ce qui n'est pas possible ici. Donc, la limite n'existe pas dans les réels. 3. **Analyse :** - Puisque $1-x$ est négatif pour $x > 1$, $\sqrt{1-x}$ n'est pas réel. - Si on considère la limite dans les réels, l'expression n'est pas définie pour $x \to +\infty$. 4. **Conclusion :** La limite n'existe pas dans $\mathbb{R}$ car $\sqrt{1-x}$ n'est pas défini pour $x \to +\infty$. Si vous souhaitez une analyse dans les nombres complexes, merci de le préciser.