Énoncé du problème : Déterminer l'image (l'ensemble des valeurs prises) de la fonction $f(x)=x\cos x$. 1. Étudions des valeurs particulières. Considérons les suites de points $x_n=2n\pi$ et $y_n=(2n+1)\pi$ pour $n\in\mathbb{Z}$. On a $f(x_n)=2n\pi\cos(2n\pi)=2n\pi$. On a $f(y_n)=(2n+1)\pi\cos((2n+1)\pi)=-(2n+1)\pi$. 2. Par continuité et théorème des valeurs intermédiaires. La fonction $f$ est continue car produit de fonctions continues. Sur chaque intervalle $[x_n,y_n]=[2n\pi,(2n+1)\pi]$ la valeur de $f$ varie continûment de $f(x_n)=2n\pi$ à $f(y_n)=-(2n+1)\pi$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ prend alors toutes les valeurs du segment $[-(2n+1)\pi,2n\pi]$ sur cet intervalle. 3. L'union des images couvre toutes les valeurs réelles. Les images obtenues pour tous les entiers $n$ sont les intervalles fermés $[-(2n+1)\pi,2n\pi]$. Les bornes supérieures $2n\pi$ tendent vers $+\infty$ quand $n\to+\infty$ et les bornes inférieures $-(2n+1)\pi$ tendent vers $-\infty$ quand $n\to+\infty$. Ainsi pour tout $y\in\mathbb{R}$ il existe un entier $n$ tel que $y\in[-(2n+1)\pi,2n\pi]$ et donc il existe $x$ avec $f(x)=y$. 4. Conclusion. L'image de $f$ est l'ensemble de tous les réels. Réponse finale : $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.