1. **Énoncé du problème :** Déterminer la nature de l'intégrale impropre $$\int_5^{+\infty} \frac{dx}{x^3 \sqrt{x}}$$. 2. **Formule et règles importantes :** L'intégrale est de la forme $$\int_a^{+\infty} f(x) dx$$. Pour étudier la convergence, on analyse le comportement de $$f(x)$$ quand $$x \to +\infty$$. 3. **Travail intermédiaire :** On simplifie l'expression sous l'intégrale : $$\frac{1}{x^3 \sqrt{x}} = \frac{1}{x^{3 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$$. 4. **Étude de convergence :** L'intégrale devient $$\int_5^{+\infty} x^{-\frac{7}{2}} dx$$. On sait que $$\int_a^{+\infty} x^{-p} dx$$ converge si et seulement si $$p > 1$$. Ici, $$p = \frac{7}{2} = 3.5 > 1$$ donc l'intégrale converge. 5. **Calcul de l'intégrale :** $$\int_5^{+\infty} x^{-\frac{7}{2}} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_5^b x^{-\frac{7}{2}} dx$$ On calcule la primitive : $$\int x^{-\frac{7}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{7}{2} + 1}}{-\frac{7}{2} + 1} + C = \frac{x^{-\frac{5}{2}}}{-\frac{5}{2}} + C = -\frac{2}{5} x^{-\frac{5}{2}} + C$$ Donc : $$\lim_{b \to +\infty} \left[-\frac{2}{5} x^{-\frac{5}{2}} \right]_5^b = \lim_{b \to +\infty} \left(-\frac{2}{5} b^{-\frac{5}{2}} + \frac{2}{5} 5^{-\frac{5}{2}} \right) = 0 + \frac{2}{5} 5^{-\frac{5}{2}}$$ 6. **Conclusion :** L'intégrale converge et sa valeur est $$\frac{2}{5} \times 5^{-\frac{5}{2}} = \frac{2}{5 \times 5^{\frac{5}{2}}} = \frac{2}{5^{\frac{7}{2}}}$$. --- **Résumé :** L'intégrale $$\int_5^{+\infty} \frac{dx}{x^3 \sqrt{x}}$$ converge et vaut $$\frac{2}{5^{\frac{7}{2}}}$$.