1. **Énoncé du problème** : On définit la fonction $g(x) = \frac{1}{1-x}$ et on cherche à calculer $F(x) = \int_0^x g(t) dt$ pour $x < 1$. --- **a) Calcul de $F\left(\frac{2}{3}\right)$** 2. Calculons d'abord $F(x)$ : $$ F(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt. $$ 3. L'intégrale de $\frac{1}{1-t}$ est $-\ln|1-t|$, donc $$ F(x) = [-\ln|1-t|]_0^x = -\ln|1-x| + \ln 1 = -\ln(1-x). $$ 4. Pour $x = \frac{2}{3}$, $$ F\left(\frac{2}{3}\right) = -\ln\left(1 - \frac{2}{3}\right) = -\ln\left(\frac{1}{3}\right) = \ln 3. $$ --- **b) Polynôme de Lagrange interpolant $g(x)$ aux points $0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$** 5. Le degré du polynôme de Lagrange est $2$ (nombre de points moins un). 6. Les points sont $x_0=0$, $x_1=\frac{1}{3}$, $x_2=\frac{2}{3}$ et les valeurs correspondantes : $$ g(0) = \frac{1}{1-0} = 1, \quad g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}, \quad g\left(\frac{2}{3}\right) = 3. $$ 7. Le polynôme de Lagrange s'écrit : $$ L(x) = g(0) \ell_0(x) + g\left(\frac{1}{3}\right) \ell_1(x) + g\left(\frac{2}{3}\right) \ell_2(x), $$ avec $$ \ell_0(x) = \frac{(x - \frac{1}{3})(x - \frac{2}{3})}{(0 - \frac{1}{3})(0 - \frac{2}{3})} = \frac{(x - \frac{1}{3})(x - \frac{2}{3})}{\frac{2}{9}} = \frac{9}{2}(x - \frac{1}{3})(x - \frac{2}{3}), $$ $$ \ell_1(x) = \frac{(x - 0)(x - \frac{2}{3})}{(\frac{1}{3} - 0)(\frac{1}{3} - \frac{2}{3})} = \frac{x(x - \frac{2}{3})}{\frac{1}{3}(-\frac{1}{3})} = -9x(x - \frac{2}{3}), $$ $$ \ell_2(x) = \frac{(x - 0)(x - \frac{1}{3})}{(\frac{2}{3} - 0)(\frac{2}{3} - \frac{1}{3})} = \frac{x(x - \frac{1}{3})}{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} x(x - \frac{1}{3}). $$ 8. Donc $$ L(x) = 1 \cdot \frac{9}{2}(x - \frac{1}{3})(x - \frac{2}{3}) + \frac{3}{2} \cdot (-9x(x - \frac{2}{3})) + 3 \cdot \frac{9}{2} x(x - \frac{1}{3}). $$ --- **c) Trouver $c_0, c_1, c_2$ tels que $\int_0^2 p(x) dx = c_0 p(0) + c_1 p(1) + c_2 p(2)$ pour tout polynôme $p$ de degré $\leq 2$** 9. On cherche une formule de quadrature exacte pour les polynômes de degré 2 sur $[0,2]$ avec points d'évaluation $0,1,2$. 10. Posons $p(x) = 1$, $x$, $x^2$ et écrivons le système : - Pour $p(x) = 1$ : $$ \int_0^2 1 dx = 2 = c_0 + c_1 + c_2. $$ - Pour $p(x) = x$ : $$ \int_0^2 x dx = \frac{2^2}{2} = 2 = c_0 \cdot 0 + c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 2 = c_1 + 2 c_2. $$ - Pour $p(x) = x^2$ : $$ \int_0^2 x^2 dx = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} = c_0 \cdot 0 + c_1 \cdot 1^2 + c_2 \cdot 2^2 = c_1 + 4 c_2. $$ 11. Résolvons le système : $$ \begin{cases} c_0 + c_1 + c_2 = 2 \\ c_1 + 2 c_2 = 2 \\ c_1 + 4 c_2 = \frac{8}{3} \end{cases} $$ 12. Soustrayons la deuxième équation de la troisième : $$ (c_1 + 4 c_2) - (c_1 + 2 c_2) = \frac{8}{3} - 2 \Rightarrow 2 c_2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} \Rightarrow c_2 = \frac{1}{3}. $$ 13. De la deuxième équation : $$ c_1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow c_1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. $$ 14. De la première équation : $$ c_0 + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow c_0 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}. $$ --- **d) Changement de variable $x = 3y$ pour trouver $d_0, d_1, d_2$ tels que $\int_0^{2/3} q(y) dy = d_0 q(0) + d_1 q(\frac{1}{3}) + d_2 q(\frac{2}{3})$** 15. Avec $x = 3y$, on a $$ \int_0^{2/3} q(y) dy = \int_0^2 q\left(\frac{x}{3}\right) \frac{dx}{3} = \frac{1}{3} \int_0^2 q\left(\frac{x}{3}\right) dx. $$ 16. Pour $p(x) = q\left(\frac{x}{3}\right)$, la formule de la question c) donne $$ \int_0^2 p(x) dx = c_0 p(0) + c_1 p(1) + c_2 p(2). $$ 17. Donc $$ \int_0^{2/3} q(y) dy = \frac{1}{3} \left( c_0 q(0) + c_1 q\left(\frac{1}{3}\right) + c_2 q\left(\frac{2}{3}\right) \right). $$ 18. On en déduit $$ d_0 = \frac{c_0}{3} = \frac{1}{9}, \quad d_1 = \frac{c_1}{3} = \frac{4}{9}, \quad d_2 = \frac{c_2}{3} = \frac{1}{9}. $$ --- **e) Approximation de $\ln 3$ en utilisant la formule de la question d)** 19. Rappel : $F\left(\frac{2}{3}\right) = \int_0^{2/3} g(t) dt = \ln 3$. 20. On approxime $\int_0^{2/3} g(t) dt$ par $$ \int_0^{2/3} g(t) dt \approx d_0 g(0) + d_1 g\left(\frac{1}{3}\right) + d_2 g\left(\frac{2}{3}\right). $$ 21. Avec $g(0) = 1$, $g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}$, $g\left(\frac{2}{3}\right) = 3$, on obtient $$ \ln 3 \approx \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9} \approx 1.111\ldots $$ 22. Cette approximation est une quadrature exacte pour les polynômes de degré 2, et $g(t)$ est proche d'un polynôme sur cet intervalle, donc l'approximation est raisonnable. --- **Réponses finales :** - a) $F\left(\frac{2}{3}\right) = \ln 3$ - b) Polynôme de Lagrange de degré 2 donné par la formule en 8. - c) $c_0 = \frac{1}{3}$, $c_1 = \frac{4}{3}$, $c_2 = \frac{1}{3}$ - d) $d_0 = \frac{1}{9}$, $d_1 = \frac{4}{9}$, $d_2 = \frac{1}{9}$ - e) $\ln 3 \approx \frac{10}{9} \approx 1.111$