1. **Énoncé du problème :** Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit $J_n = \int_0^\pi t(\pi - t) \cos(2nt) \, dt$. Montrer que $J_n = -\frac{\pi}{2n^2}$ en utilisant deux intégrations par parties. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une intégrale de produit, on utilise la formule d'intégration par parties : $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Il faudra appliquer cette formule deux fois. 3. **Calcul de $J_n$ :** Posons $u = t(\pi - t)$ et $dv = \cos(2nt) dt$. Calculons $du$ et $v$ : $$du = (\pi - 2t) dt$$ $$v = \int \cos(2nt) dt = \frac{\sin(2nt)}{2n}$$ Première intégration par parties : $$J_n = \left[ t(\pi - t) \frac{\sin(2nt)}{2n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(2nt)}{2n} (\pi - 2t) dt$$ Les bornes donnent zéro car $\sin(0) = \sin(2n\pi) = 0$. Donc : $$J_n = - \frac{1}{2n} \int_0^\pi (\pi - 2t) \sin(2nt) dt$$ Posons maintenant : $$I = \int_0^\pi (\pi - 2t) \sin(2nt) dt$$ Appliquons une deuxième intégration par parties : Posons $u = \pi - 2t$, $dv = \sin(2nt) dt$. Alors : $$du = -2 dt$$ $$v = -\frac{\cos(2nt)}{2n}$$ Donc : $$I = \left[ (\pi - 2t) \left(-\frac{\cos(2nt)}{2n}\right) \right]_0^\pi - \int_0^\pi -\frac{\cos(2nt)}{2n} (-2) dt$$ Calculons la première partie : $$\left[ -\frac{(\pi - 2t) \cos(2nt)}{2n} \right]_0^\pi = -\frac{(\pi - 2\pi) \cos(2n\pi)}{2n} + \frac{\pi \cos(0)}{2n} = -\frac{(-\pi)(1)}{2n} + \frac{\pi (1)}{2n} = \frac{\pi}{2n} + \frac{\pi}{2n} = \frac{\pi}{n}$$ La deuxième intégrale : $$\int_0^\pi \frac{2 \cos(2nt)}{2n} dt = \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(2nt) dt = \frac{1}{n} \left[ \frac{\sin(2nt)}{2n} \right]_0^\pi = 0$$ Donc : $$I = \frac{\pi}{n}$$ 4. **Conclusion :** $$J_n = -\frac{1}{2n} I = -\frac{1}{2n} \times \frac{\pi}{n} = -\frac{\pi}{2n^2}$$ **Réponse finale :** $$J_n = -\frac{\pi}{2n^2}$$