1. **Énoncé du problème :** Déterminer si la fonction $f : ]4, +\infty[ \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 2}}$$ est une injection. Si ce n'est pas le cas, déterminer le plus grand sous-ensemble $A$ de l'ensemble de départ tel que la restriction de $f$ à $A$ soit une injection. 2. **Formule et règles importantes :** Une fonction est une injection si et seulement si pour tout $x_1, x_2$ dans le domaine, $f(x_1) = f(x_2)$ implique $x_1 = x_2$. 3. **Étude de la fonction :** - Domaine : $]4, +\infty[$. - Expression : $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 2}}$. 4. **Monotonie :** Calculons la dérivée pour étudier la monotonie : $$f'(x) = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2}} \right) = - \left(-\frac{1}{2} (x^2 - 2)^{-3/2} \cdot 2x \right) = \frac{x}{(x^2 - 2)^{3/2}}$$ 5. **Signe de la dérivée :** Pour $x > 4$, $x > 0$ et $x^2 - 2 > 0$, donc $f'(x) > 0$. 6. **Conclusion sur l'injectivité :** La fonction $f$ est strictement croissante sur $]4, +\infty[$, donc elle est injective sur tout son domaine. 7. **Réponse finale :** La fonction $f$ est une injection sur $]4, +\infty[$. Le plus grand sous-ensemble $A$ est donc $]4, +\infty[$ lui-même. **Réponse :** $f$ est injective sur $]4, +\infty[$.