1. **Énoncé du problème :** Vérifier si les implications suivantes sont vraies ou fausses : - $u_n \to +\infty \Rightarrow u_{n+1} \sim u_n$ - $u_n \to 0 \Rightarrow u_{n+1} \sim u_n$ - $u_n \to 3 \Rightarrow u_{n+1} \sim u_n$ et $u_{2n} \sim u_n$ 2. **Rappel de la définition de la relation de comparaison asymptotique $\sim$ :** Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont dites asymptotiquement équivalentes, noté $a_n \sim b_n$, si $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1.$$ Cela signifie que les deux suites ont le même comportement à l'infini, leur quotient tend vers 1. 3. **Analyse de la première implication :** Si $u_n \to +\infty$, alors on veut savoir si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$. - Exemple : si $u_n = n$, alors $u_{n+1} = n+1$ et $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1.$$ - Cependant, si $u_n = 2^n$, alors $u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 u_n$ et $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = 2 \neq 1.$$ Donc l'implication est **fausse** en général. 4. **Analyse de la deuxième implication :** Si $u_n \to 0$, alors on veut savoir si $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$. - Exemple : $u_n = \frac{1}{n}$, alors $u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ et $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n}{n+1} \to 1.$$ - Exemple contraire : $u_n = \frac{1}{2^n}$, alors $u_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} u_n$ et $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2} \neq 1.$$ Donc l'implication est aussi **fausse** en général. 5. **Analyse de la troisième implication :** Si $u_n \to 3$, alors $u_n$ tend vers une limite finie non nulle. - Dans ce cas, $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3}{3} = 1$, donc $u_{n+1} \sim u_n$. - Pour $u_{2n} \sim u_n$, on a $$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{2n}}{u_n} = \frac{3}{3} = 1,$$ car les deux suites tendent vers la même limite non nulle. Donc cette implication est **vraie**. **Résumé final :** - 1. Faux - 2. Faux - 3. Vrai