1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'image et l'antécédent par la fonction $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$ pour différents ensembles. 2. **Formule et règles importantes :** - L'image d'un ensemble $B$ par $g$ est $g(B) = \{g(x) : x \in B\}$. - L'antécédent d'un ensemble $C$ par $g$ est $g^{-1}(C) = \{x \in \mathbb{R} : g(x) \in C\}$. - Pour $g(x) = x^2$, $g$ est paire et non injective sur $\mathbb{R}$. 3. **Calculs intermédiaires :** **1. Déterminer $g(B)$ :** - Pour $B = [-2, -1]$, $g(B) = [(-2)^2, (-1)^2] = [4, 1]$ mais comme $x^2$ décroît sur $[-2,0]$, l'image est $[1,4]$. - Pour $B = [1, 2]$, $g(B) = [1^2, 2^2] = [1,4]$. - Pour $B = [-3, 2]$, $g(B) = [0, 9]$ car $x^2$ atteint son minimum 0 en 0 et maximum 9 en -3. **2. Déterminer $g^{-1}(C)$ :** - Pour $C = \{1\}$, $g^{-1}(\{1\}) = \{x : x^2 = 1\} = \{-1, 1\}$. - Pour $C = [1, 2]$, $g^{-1}([1, 2]) = \{x : 1 \leq x^2 \leq 2\} = [-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}]$. **3. Déterminer $g^{-1}(g(D))$ pour $D = [0,1]$ :** - $g(D) = [0^2, 1^2] = [0,1]$. - $g^{-1}([0,1]) = [-1,1]$. - Donc $g^{-1}(g(D)) = [-1,1]$. **4. Déterminer $g(g^{-1}(E))$ pour $E = [-1,0]$ :** - $g^{-1}(E) = \{x : x^2 \in [-1,0]\}$ mais $x^2 \geq 0$ toujours, donc $g^{-1}(E) = \emptyset$. - Donc $g(g^{-1}(E)) = g(\emptyset) = \emptyset$. 4. **Conclusion :** - $g([-2,-1]) = [1,4]$ - $g([1,2]) = [1,4]$ - $g([-3,2]) = [0,9]$ - $g^{-1}(\{1\}) = \{-1,1\}$ - $g^{-1}([1,2]) = [-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}]$ - $g^{-1}(g([0,1])) = [-1,1]$ - $g(g^{-1}([-1,0])) = \emptyset$ Ces résultats illustrent bien la nature de la fonction carrée et ses images et antécédents.