1. **Énoncé du problème :** On étudie les fonctions f et g définies sur [-3;3] avec leurs courbes (Cf) et (Cg). **1.a)** Justifier que f est paire et g est impaire. - Une fonction f est paire si pour tout x, f(-x) = f(x). - Une fonction g est impaire si pour tout x, g(-x) = -g(x). - En observant les courbes, (Cf) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc f est paire. - La courbe (Cg) est symétrique par rapport à l'origine, donc g est impaire. **1.b)** Étudier les variations de f et g. - Pour f, on observe les points où la fonction change de sens (maximum, minimum) sur [-3;3]. - Pour g, idem, on repère les intervalles où g est croissante ou décroissante. 2. **Résoudre l'inéquation** $f(x) \geq g(x)$ sur [-3;3]. - On cherche les x tels que la courbe de f est au-dessus ou égale à celle de g. - Cela correspond aux intervalles où $f(x) - g(x) \geq 0$. - On identifie graphiquement ces intervalles ou on résout algébriquement si possible. 3. **Résoudre l'inéquation** $f^2(x) + 4f(x) + 3 \geq 0$ sur [-3;3]. - Posons $y = f(x)$, alors l'inéquation devient $y^2 + 4y + 3 \geq 0$. - Factorisons : $(y+1)(y+3) \geq 0$. - Le produit est positif si $y \leq -3$ ou $y \geq -1$. - On détermine les x tels que $f(x)$ est dans ces intervalles. 4.a) **Déterminer l'ensemble de définition de** $h(x) = \frac{1}{f(x)g(x)}$. - $h$ est définie si $f(x) \neq 0$ et $g(x) \neq 0$. - On exclut les x où $f(x) = 0$ ou $g(x) = 0$. 4.b) **Montrer que h est impaire.** - $h(-x) = \frac{1}{f(-x)g(-x)}$. - Comme f est paire, $f(-x) = f(x)$. - Comme g est impaire, $g(-x) = -g(x)$. - Donc $h(-x) = \frac{1}{f(x)(-g(x))} = -\frac{1}{f(x)g(x)} = -h(x)$. - Donc h est impaire. 4.c) **Montrer que h est décroissante sur [1;2[.** - Étudier le signe de la dérivée $h'(x)$ sur [1;2[. - Comme $h(x) = \frac{1}{f(x)g(x)}$, on dérive en utilisant la règle du quotient et produit. - Si $h'(x) < 0$ sur [1;2[, alors h est décroissante. 4.d) **En déduire le maximum de h sur ]-2; -1].** - Comme h est impaire et décroissante sur [1;2[, alors sur ]-2;-1], h est croissante. - Le maximum sur ]-2;-1] est donc atteint en -1. --- **Exercice 4** Soit $f(x) = ax + 1$. On cherche $a$ tel que $f \circ f (x) = x^{2025/2026}$. - Calculons $f(f(x)) = f(ax + 1) = a(ax + 1) + 1 = a^2 x + a + 1$. - On veut $a^2 x + a + 1 = x^{2025/2026}$. - Cette égalité doit être vraie pour tout x. - Or $a^2 x + a + 1$ est affine, et $x^{2025/2026}$ est une fonction puissance non affine. - Donc il n'existe pas de $a$ réel satisfaisant cette égalité pour tout x. --- **Exercice 1** 1.a) Proposition $P$: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \in \mathbb{Q} \Rightarrow x \in \mathbb{Q}$. - Négation: $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 \in \mathbb{Q}$ et $x \notin \mathbb{Q}$. 1.b) Contre-exemple: - Prenons $x = \sqrt{2}$, alors $x^2 = 2 \in \mathbb{Q}$ mais $x \notin \mathbb{Q}$. - Donc $P$ est fausse. 2.a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, (n+3)^2 < p(n) < (n+4)^2$ avec $p(n) = n^2 + 7n + 12$. - Calculons $(n+3)^2 = n^2 + 6n + 9$. - Calculons $(n+4)^2 = n^2 + 8n + 16$. - Comparons avec $p(n)$: - $p(n) - (n+3)^2 = n^2 + 7n + 12 - (n^2 + 6n + 9) = n + 3 > 0$. - $(n+4)^2 - p(n) = n^2 + 8n + 16 - (n^2 + 7n + 12) = n + 4 > 0$. - Donc inégalités vraies. 2.b) Montrer par l'absurde que $\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{p(n)} \notin \mathbb{N}$. - Supposons $\exists n$ tel que $\sqrt{p(n)} = m \in \mathbb{N}$. - Alors $p(n) = m^2$. - Or $p(n)$ est strictement entre $(n+3)^2$ et $(n+4)^2$, donc pas un carré parfait. - Contradiction. 3.a) Montrer que $f$ est injective sur $\mathbb{R}^*_+$. - $f(x) = 1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$. - Si $x \neq y$, alors $\frac{4}{x^2} \neq \frac{4}{y^2}$ donc $f(x) \neq f(y)$. 3.b) Montrer que $g$ est injective sur $\mathbb{R}^*_+$ sauf si $xy=1$. - $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$. - Si $x \neq y$ et $xy \neq 1$, alors $g(x) \neq g(y)$. 4. Montrer que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{x + y + 2}{2} \iff x = 1$ et $y = 1$. - En développant et simplifiant, on trouve que l'égalité est vraie uniquement pour $x = y = 1$. 5. Montrer par récurrence que $7$ divise $3^{2n} - 2^n$. - Initialisation: pour $n=0$, $3^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0$ divisible par 7. - Hérédité: supposer vrai pour $n$, montrer pour $n+1$. - Utiliser propriétés des puissances et divisibilité. --- **Exercice 2** 1. Parité de $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ et $g(x) = \sqrt{x-1}$. - $f(-x) = -(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^2 - 2x + 1 \neq f(x)$, donc f n'est ni paire ni impaire. - $g$ n'est définie que pour $x \geq 1$, donc pas de parité. 2. Tableaux de variations: - $f'(x) = -2x + 2$, s'annule en $x=1$. - $f$ croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$. - $g$ est croissante sur $[1,+\infty[$. 3. Points d'intersection avec axes: - Pour $f$, $f(0) = 1$ (ordonnée à l'origine). - Pour $g$, $g(1) = 0$. - Vérifier que $A(2;1)$ appartient aux deux courbes. 4. Tracer les courbes (non demandé ici). 5. Résoudre $f(x) = -2$ graphiquement et algébriquement. - $-x^2 + 2x + 1 = -2$. - $-x^2 + 2x + 3 = 0$. - $x^2 - 2x - 3 = 0$. - Solutions $x = 3$ ou $x = -1$. 6. Résoudre $x^2 - 2x + 1 + \sqrt{x-1} = 0$ graphiquement. 7. Résoudre l'inéquation $x^2 - 2x + 1 + \sqrt{x-1} < 0$ graphiquement. 8. Image des intervalles [0;1] et [1;2] par f. - Calculer $f(0), f(1), f(2)$ et étudier le sens de variation. 9.a) Déterminer $D_h$ pour $h = g \circ f$. - $D_h = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \in D_g\}$. - Comme $D_g = [1,+\infty[$, on cherche $x$ tel que $f(x) \geq 1$. 9.b) Étudier le sens de variation de $h$. - $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. - Étudier les signes de $g'$ et $f'$ sur $D_h$.