1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.$$ Nous devons calculer les limites de $g$ en $0^+$ et à $+\infty$, calculer sa dérivée $g'$, étudier son signe, dresser son tableau de variations, et établir le signe de $g$. 2. **Calcul des limites :** - Calcul de $\lim_{x\to 0^+} g(x)$ : $$\lim_{x\to 0^+} (x^2 + 3 - 2\ln x) = 0 + 3 - 2 \lim_{x\to 0^+} \ln x.$$ Or, $\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$, donc $$\lim_{x\to 0^+} g(x) = 3 - 2(-\infty) = +\infty.$$ - Calcul de $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ : $$\lim_{x\to +\infty} (x^2 + 3 - 2\ln x) = +\infty + 3 - 2\cdot (+\infty) = +\infty.$$ (en effet, $x^2$ domine $\ln x$, donc $g(x) \to +\infty$) 3. **Calcul de la dérivée $g'(x)$ :** $$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^2 + 3 - 2\ln x\right) = 2x - \frac{2}{x} = 2\left(x - \frac{1}{x}\right).$$ 4. **Étude du signe de $g'(x)$ :** - Trouvons les racines de $g'(x)$ : $$2\left(x - \frac{1}{x}\right) = 0 \implies x - \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$$ bien que $x$ est dans $]0, +\infty[$, donc seule racine est $x=1$. - Pour $0 < x < 1$, $$x - \frac{1}{x} < 0,$$ parce que $x < 1/x$. - Pour $x > 1$, $$x - \frac{1}{x} > 0.$$ Donc $g'(x) < 0$ sur $]0,1[$ et $g'(x) > 0$ sur $]1,+\infty[$. 5. **Tableau de variations :** - Comme $g'$ est négative sur $]0,1[$, $g$ est décroissante. - Comme $g'$ est positive sur $]1,+\infty[$, $g$ est croissante. - Calcul de $g(1)$ pour le minimum : $$g(1) = 1^2 + 3 - 2\ln 1 = 1 + 3 - 0 = 4.$$ 6. **Signe de $g(x)$ sur $]0, +\infty[$ :** - Limite en $0^+$ est $+\infty$, limite en $+\infty$ est $+\infty$ - $g$ décroît de $+\infty$ vers $4$ sur $]0,1]$, puis croît de $4$ vers $+\infty$ sur $[1,+\infty[$. - Comme minimum $g(1) = 4 > 0$, $g(x) > 0$ pour tout $x > 0$. **Réponse finale :** $$\boxed{\lim_{x\to 0^+} g(x) = +\infty, \quad \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty, \quad g'(x) = 2 \left(x - \frac{1}{x}\right), \quad g \text{ décroît sur } ]0,1[, \text{ croît sur } ]1, +\infty[, \text{ et } g(x) > 0 \text{ pour } x > 0.}$$