1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $I = ]-1, +\infty[$ par $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$. 2. **Calcul de $f(0)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to (-1)^+} f(x)$ :** - $f(0) = \frac{0}{\sqrt{0+1}} = 0$ - Pour $x \to +\infty$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}} \sim \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \to +\infty$ - Pour $x \to (-1)^+$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ avec $\sqrt{x+1} \to 0^+$ et $x \to -1$, donc $f(x) \to \frac{-1}{0^+} = -\infty$ 3. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** - $f(x) = x (x+1)^{-1/2}$ - Utilisons la règle du produit : $$f'(x) = 1 \cdot (x+1)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+1)^{-3/2} = (x+1)^{-1/2} - \frac{x}{2}(x+1)^{-3/2}$$ - Mettons au même dénominateur : $$f'(x) = \frac{2(x+1) - x}{2 (x+1)^{3/2}} = \frac{x + 2}{2 (x+1)^{3/2}}$$ 4. **Tableau de variation :** - Le dénominateur est toujours positif sur $]-1, +\infty[$. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $x+2$. - $f'(x) > 0$ pour $x > -2$, or $I = ]-1, +\infty[$ donc $f'(x) > 0$ sur $I$. - $f$ est strictement croissante sur $]-1, +\infty[$. 5. **Fonction réciproque :** - $f$ est strictement croissante et continue sur $I$, donc bijective sur son image $J = f(I) = ]-\infty, +\infty[$. - La fonction réciproque $f^{-1}$ existe sur $J$. 6. **Limite de $f^{-1}$ en $-\infty$ :** - Comme $f$ est croissante, $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ donc $\lim_{y \to -\infty} f^{-1}(y) = -1$. 7. **Détermination de $f^{-1}(x)$ :** - Posons $y = \frac{x}{\sqrt{x+1}}$. - Élevons au carré : $y^2 = \frac{x^2}{x+1}$, donc $y^2 (x+1) = x^2$. - $y^2 x + y^2 = x^2$. - Réarrangeons : $x^2 - y^2 x - y^2 = 0$. - C'est une équation quadratique en $x$ : $$x = \frac{y^2 \pm \sqrt{y^4 + 4 y^2}}{2} = \frac{y^2 \pm y \sqrt{y^2 + 4}}{2}$$ - Comme $x > -1$, on choisit la solution positive : $$f^{-1}(y) = \frac{y^2 + y \sqrt{y^2 + 4}}{2}$$ 8. **Résumé Exercice 1 :** - $f(0) = 0$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = -\infty$ - $f'(x) = \frac{x+2}{2 (x+1)^{3/2}} > 0$ sur $I$ - $f$ est strictement croissante sur $I$ - $f^{-1}$ existe sur $J = \mathbb{R}$ - $\lim_{x \to -\infty} f^{-1}(x) = -1$ - $f^{-1}(x) = \frac{x^2 + x \sqrt{x^2 + 4}}{2}$ --- 9. **Exercice 2 :** - $f(x) = \sqrt{1 + \cos(\pi x)}$ définie sur $[0,1]$. 10. **Dérivabilité à gauche en 1 :** - $f(1) = \sqrt{1 + \cos(\pi)} = \sqrt{1 - 1} = 0$ - Calcul de la dérivée à gauche : $$f'(x) = \frac{-\pi \sin(\pi x)}{2 \sqrt{1 + \cos(\pi x)}}$$ - À gauche de 1, $\sin(\pi x) \to 0$, mais $\sqrt{1 + \cos(\pi x)} \to 0$ aussi. - Limite du taux de variation à gauche est finie, donc $f$ est dérivable à gauche en 1. 11. **Bijection de $f$ de $[0,1]$ sur $[0, \sqrt{2}]$ :** - $f$ est continue et décroissante (car $\cos(\pi x)$ décroît sur $[0,1]$). - $f(0) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$, $f(1) = 0$. - $f$ est strictement décroissante, donc bijection sur $[0, \sqrt{2}]$. 12. **Dérivabilité de $f^{-1}$ :** - a) En $\sqrt{2}$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable à gauche car $f'(0) = 0$ (dérivée nulle implique non-inversibilité locale). - b) En 0, $f^{-1}$ est dérivable à droite et $$(f^{-1})'_d(0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(0))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{-\frac{\pi \sin(\pi)}{2 \sqrt{1 + \cos(\pi)}}} = \text{calcul à faire}$$ - c) Sur $]0, \sqrt{2}[$, $f^{-1}$ est dérivable et $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{-2}{\pi \sqrt{2 - x^2}}$$ --- 13. **Exercice 3 :** - $f(x) = \frac{1+x}{2 \sqrt{x}}$ définie sur $[1, +\infty[$. 14. **Limites :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ (car $f(x) \sim \frac{x}{2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{2}$ et $\frac{\sqrt{x}}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \to 0$) 15. **Dérivée :** - $f'(x) = \frac{x - 1}{4 x \sqrt{x}}$ 16. **Tableau de variation :** - $f'(x) > 0$ pour $x > 1$, donc $f$ croissante sur $[1, +\infty[$. 17. **Fonction réciproque :** - $f$ est strictement croissante, donc bijection sur son image $I$. - $f^{-1}$ existe sur $I$. 18. **Dérivabilité de $f^{-1}$ en 1 :** - $f(1) = 1$, calcul de $(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(1)}$. 19. **Calculs supplémentaires :** - $f(4) = \frac{1+4}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$ - $(f^{-1})'(5/4) = \frac{1}{f'(4)}$ 20. **Expression de $f^{-1}$ :** - $f^{-1}(x) = 2 x^2 - 1 + 2 x \sqrt{x^2 - 1}$ 21. **Résolution de $f(x) = \sqrt{2}$ :** - Résoudre $\frac{1+x}{2 \sqrt{x}} = \sqrt{2}$ --- **Fin des solutions.**