1. **Énoncé du problème :** Nous étudions les fonctions $g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ et $f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2+1}$. 2. **Calcul des limites de $g$ :** - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2+1} \sim x$, donc $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx 1 + \frac{x}{x} = 1 + 1 = 2.$$ - Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2+1} \sim -x$ (car $x$ négatif, mais racine positive), donc $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \approx 1 + \frac{x}{-x} = 1 - 1 = 0.$$ 3. **Dérivée de $g$ :** On montre que $$g'(x) = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.$$ Ceci est positif pour tout $x$ car dénominateur positif. 4. **Tableau de variations de $g$ :** Puisque $g'(x) > 0$ pour tout $x$, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 5. **Signe de $g$ :** Comme $g$ est croissante et $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$, on a $g(x) > 0$ pour tout $x$. 6. **Limites de $f$ :** - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2+1} \sim x$, donc $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2+1} \approx x - 1 + x = 2x - 1 \to +\infty.$$ - Pour $x \to -\infty$, on donne $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$. 7. **Limite de $\frac{f(x)}{x}$ :** Pour $x \to +\infty$, $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x - 1 + \sqrt{x^2+1}}{x} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \approx 1 + 1 = 2.$$ 8. **Asymptote oblique :** La droite $D : y = 2x - 1$ est une asymptote oblique de $f$ en $+\infty$ car $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (2x - 1)) = 0.$$ 9. **Dérivée de $f$ :** On montre que $$f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = g(x).$$ 10. **Variations de $f$ :** Comme $g(x) > 0$ pour tout $x$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 11. **Calcul de $f(1)$ :** $$f(1) = 1 - 1 + \sqrt{1^2 + 1} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}.$$ 12. **Fonction réciproque $f^{-1}$ :** - $f$ est strictement croissante donc bijective sur $\mathbb{R}$, donc $f^{-1}$ existe sur $J = f(\mathbb{R})$. - $f^{-1}$ est dérivable en $\sqrt{2}$ car $f(1) = \sqrt{2}$. 13. **Dérivée de $f^{-1}$ en $\sqrt{2}$ :** Par la formule $$(f^{-1})'(\sqrt{2}) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{g(1)}.$$ Calculons $g(1)$ : $$g(1) = 1 + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$$ Donc $$(f^{-1})'(\sqrt{2}) = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}.$$ 14. **Interprétation géométrique :** - La limite $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ signifie que la courbe $C_f$ admet une asymptote horizontale $y = -1$ à gauche. - L'asymptote oblique $y = 2x - 1$ à droite montre que $f$ croît rapidement. 15. **Résumé :** - $g$ est strictement croissante et positive. - $f$ est strictement croissante, avec asymptotes horizontale à gauche et oblique à droite. - $f^{-1}$ existe et sa dérivée en $\sqrt{2}$ est $2 - \sqrt{2}$. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1.$$