1. Énoncé du problème : Nous avons deux fonctions définies par $f(x) = x^2 - 1$ et $g(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$. 2. Déterminer le domaine de définition de $g$ : La fonction $g(x)$ est définie partout sauf là où le dénominateur est nul. Le dénominateur est $x+1$, donc $x \neq -1$. Ainsi, le domaine de définition de $g$ est $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 3. Étudier les variations de $f$ et $g$ : - Pour $f(x) = x^2 - 1$, la dérivée est $f'(x) = 2x$. - $f'(x) = 0$ pour $x=0$. - $f'(x) < 0$ si $x < 0$ donc $f$ est décroissante sur $(-\infty,0)$. - $f'(x) > 0$ si $x > 0$ donc $f$ est croissante sur $(0,+\infty)$. - Le minimum est $f(0) = -1$. - Pour $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$, la dérivée est $g'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$. - $g'(x) > 0$ pour tout $x \neq -1$, donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 4. Montrer que $f(x) = g(x)$ équivaut à $x(x-1)(x+2) = 0$ : Égaliser: $$x^2 - 1 = \frac{x-1}{x+1}$$ Multiplication par $x+1$ (avec $x \neq -1$) : $$(x^2 - 1)(x+1) = x - 1$$ Développons : $$(x-1)(x+1)(x+1) = x - 1$$ $$(x-1)(x+1)^2 = x - 1$$ Puis $$(x-1)(x+1)^2 - (x-1) = 0$$ Factorisation: $$(x-1)((x+1)^2 - 1) = 0$$ Or, $$(x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$$ Donc : $$(x-1)(x^2 + 2x) = 0$$ Factorisons $x$ : $$(x-1)x(x+2) = 0$$ Ce qui donne les racines $x = 0$, $x = 1$ et $x = -2$. 5. En déduire l'intersection des courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ : Les courbes se coupent au points d'abscisses $x = -2, 0, 1$. 6. Résoudre graphiquement : - $f(x) \geq 0$ : $f(x) = x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1$ ou $x \geq 1$. - $f(x) \leq g(x)$ : D'après les solutions de $f(x) = g(x)$ et le sens des variations, on déduit que $cette inégalité est satisfaite sur $[-2,0] \cup [1,+\infty)$ (analyse graphique et signes entre racines). 7. Étudier la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $$h(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2}$$ 8. Montrer que $h(x) = g \circ f (x)$ : Calculons $g(f(x))$ : $$g(f(x)) = g(x^2 - 1) = \frac{(x^2 - 1) - 1}{(x^2 - 1) + 1} = \frac{x^2 - 2}{x^2} = h(x)$$ Donc $h = g \circ f$. 9. Étudier la parité de $h$ : Calculons $h(-x)$ : $$h(-x) = \frac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2} = h(x)$$ Donc $h$ est une fonction paire.