1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions définies par : $$f(x) = -x^2 - 2x + 3$$ $$g(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$$ Nous devons : - Déterminer les domaines de définition $D_f$ et $D_g$. - Dresser les tableaux de variations de $f$ et $g$. - Trouver les points d'intersection des courbes avec l'axe des abscisses. - Tracer les courbes dans le même repère. 2. **Détermination des domaines de définition :** - Pour $f$, c'est un polynôme, donc $D_f = \mathbb{R}$. - Pour $g$, le dénominateur ne doit pas être nul, donc $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Ainsi, $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. 3. **Tableau de variations de $f$ :** - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = -2x - 2$$ - Trouvons les points critiques en résolvant $f'(x) = 0$ : $$-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$$ - Étudions le signe de $f'(x)$ : Pour $x < -1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. Pour $x > -1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Calcul de $f(-1)$ : $$f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$ 4. **Tableau de variations de $g$ :** - Calcul de la dérivée : $$g'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x + 2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$$ - Le dénominateur est toujours positif sauf en $x = -2$ où la fonction n'est pas définie. - Donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in D_g$, $g$ est strictement croissante sur chaque intervalle de $D_g$. 5. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses :** - Pour $f$, résoudre $f(x) = 0$ : $$-x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$$ - Résolvons : $$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Donc : $$x_1 = 1, \quad x_2 = -3$$ - Pour $g$, résoudre $g(x) = 0$ : $$\frac{x - 1}{x + 2} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$ 6. **Résumé :** - $D_f = \mathbb{R}$ - $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ - $f$ croît sur $(-\infty, -1)$, décroît sur $(-1, +\infty)$ avec un maximum en $x = -1$ de valeur $4$. - $g$ est strictement croissante sur $(-\infty, -2)$ et $(-2, +\infty)$. - Points d'intersection avec l'axe des abscisses : - $f$ : $x = -3$ et $x = 1$ - $g$ : $x = 1$ 7. **Fonctions à tracer :** $$f(x) = -x^2 - 2x + 3$$ $$g(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$$ Ces courbes peuvent être tracées dans le même repère en respectant les domaines.