1. **Énoncé du problème** : Étudier les variations des fonctions $$f_0(x) = e^{-\frac{x}{2}}, \quad f_1(x) = x e^{-\frac{x}{2}}, \quad f_2(x) = x^2 e^{-\frac{x}{2}}$$ 2. **Étude de la fonction** $f_0(x)$ : - Dérivée : $$f_0'(x) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}$$ - Comme $e^{-\frac{x}{2}} > 0$ pour tout $x$, $f_0'(x) < 0$ pour tout $x$. - Donc $f_0$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 3. **Étude de la fonction** $f_1(x)$ : - Dérivée par produit : $$f_1'(x) = e^{-\frac{x}{2}} + x \left(-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\right) = e^{-\frac{x}{2}} \left(1 - \frac{x}{2}\right)$$ - Le signe de $f_1'(x)$ dépend de $1 - \frac{x}{2}$. - $f_1'(x) > 0$ si $x < 2$, $f_1'(x) = 0$ si $x=2$, $f_1'(x) < 0$ si $x > 2$. - Donc $f_1$ est croissante sur $(-\infty, 2]$ et décroissante sur $[2, +\infty)$. 4. **Étude de la fonction** $f_2(x)$ : - Dérivée : $$f_2'(x) = 2x e^{-\frac{x}{2}} + x^2 \left(-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}\right) = e^{-\frac{x}{2}} \left(2x - \frac{x^2}{2}\right) = e^{-\frac{x}{2}} x \left(2 - \frac{x}{2}\right)$$ - Le signe de $f_2'(x)$ dépend de $x(2 - \frac{x}{2})$. - Zéros en $x=0$ et $x=4$. - $f_2'(x) > 0$ sur $(0,4)$, $f_2'(x) < 0$ sur $(-\infty,0)$ et $(4,+\infty)$. - Donc $f_2$ décroît sur $(-\infty,0]$, croît sur $[0,4]$, décroît sur $[4,+\infty)$. 5. **Points d'intersection** : - $C_0$ et $C_1$ : résoudre $f_0(x) = f_1(x)$ $$e^{-\frac{x}{2}} = x e^{-\frac{x}{2}} \Rightarrow 1 = x \Rightarrow x=1$$ - Coordonnées : $(1, e^{-\frac{1}{2}})$ - $C_0$ et $C_2$ : résoudre $f_0(x) = f_2(x)$ $$e^{-\frac{x}{2}} = x^2 e^{-\frac{x}{2}} \Rightarrow 1 = x^2 \Rightarrow x = \pm 1$$ - Coordonnées : $(1, e^{-\frac{1}{2}})$ et $(-1, e^{\frac{1}{2}})$ - $C_1$ et $C_2$ : résoudre $f_1(x) = f_2(x)$ $$x e^{-\frac{x}{2}} = x^2 e^{-\frac{x}{2}} \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ ou } x=1$$ - Coordonnées : $(0,0)$ et $(1, e^{-\frac{1}{2}})$ 6. **Étude du signe des expressions** : - $f_1(x) - f_0(x) = e^{-\frac{x}{2}} (x - 1)$ - Signe dépend de $x-1$ : négatif si $x<1$, nul en $x=1$, positif si $x>1$. - $f_2(x) - f_2(x) = 0$ toujours (expression redondante). - $f_2(x) - f_0(x) = e^{-\frac{x}{2}} (x^2 - 1)$ - Signe dépend de $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ : négatif entre $-1$ et $1$, nul en $x=\pm 1$, positif ailleurs. 7. **Résumé** : - $f_0$ décroissante. - $f_1$ croissante puis décroissante avec maximum en $x=2$. - $f_2$ décroissante, croissante, décroissante avec extremums en $x=0$ et $x=4$. - Points d'intersection donnés. - Signes des différences expliqués.