1. **Énoncé du problème** : Nous avons plusieurs fonctions à étudier, notamment la fonction $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{1 - x^2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, la fonction $h(x) = -4 - 3x + x^3$ définie sur $\mathbb{R}$, et la fonction $f$ définie par morceaux avec $f(x) = -x - 1 + \sqrt{1 + x^2}$ si $x \geq 0$ et $f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$ si $x < 0$. Nous allons répondre aux questions posées pour chaque fonction. --- ### Problème 3 : Fonction définie par morceaux 1. **Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ puis étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0.** - La fonction $f$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $\sqrt{1 + x^2}$ est définie pour tout $x$. - $D_f = \mathbb{R}$. - Continuité en 0 : - $f(0) = -0 - 1 + \sqrt{1 + 0} = -1 + 1 = 0$. - Limite à gauche en 0 : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^3 + 3x^2 - 1) = -1$. - Limite à droite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -0 - 1 + \sqrt{1 + 0} = 0$. - Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc $f$ n'est pas continue en 0. - Dérivabilité en 0 : impossible car $f$ n'est pas continue en 0. 2. **Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ puis étudier les branches infinies de $(C_f)$.** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x - 1 + \sqrt{1 + x^2})$. - Pour $x$ grand, $\sqrt{1 + x^2} \sim x$, donc $f(x) \sim -x - 1 + x = -1$. - Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x^3 + 3x^2 - 1) = -\infty$. - Branches infinies : - À gauche, $f(x) \to -\infty$. - À droite, $f(x) \to -1$. 3. **Calculer $f'(x)$ sur chacun des intervalles où $f$ est dérivable, étudier son signe puis établir le tableau de variation de $f$.** - Pour $x < 0$, $f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$ donc $$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2).$$ - Signe de $f'(x)$ pour $x < 0$ : - $f'(x) = 0$ pour $x = 0$ (hors intervalle) et $x = -2$. - Pour $x < -2$, $f'(x) > 0$. - Pour $-2 < x < 0$, $f'(x) < 0$. - Pour $x > 0$, $f(x) = -x - 1 + \sqrt{1 + x^2}$. - Dérivée : $$f'(x) = -1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{-\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$ - Le numérateur $-\sqrt{1 + x^2} + x < 0$ car $\sqrt{1 + x^2} > x$ pour $x > 0$. - Donc $f'(x) < 0$ pour $x > 0$. - Tableau de variation : - $f$ croissante sur $(-\infty, -2]$, décroissante sur $[-2, 0)$, décroissante sur $(0, +\infty)$. --- ### Problème 4 : Fonction $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{1 - x^2}$ 1. **Étudier les variations de la fonction $h(x) = -4 - 3x + x^3$.** - Dérivée : $$h'(x) = -3 + 3x^2 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1).$$ - Signe de $h'(x)$ : - $h'(x) < 0$ pour $x \in (-1, 1)$. - $h'(x) > 0$ pour $x < -1$ ou $x > 1$. - Variations : - $h$ décroissante sur $[-1, 1]$, croissante sur $(-\infty, -1]$ et $[1, +\infty)$. 2. **Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ unique tel que $h(\alpha) = 0$, puis déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près.** - $h$ est continue et strictement monotone sur $(-\infty, -1]$ et $[1, +\infty)$. - Calculs : - $h(-2) = -4 - 3(-2) + (-2)^3 = -4 + 6 - 8 = -6 < 0$. - $h(-1) = -4 - 3(-1) + (-1)^3 = -4 + 3 - 1 = -2 < 0$. - $h(2) = -4 - 3(2) + 8 = -4 - 6 + 8 = -2 < 0$. - $h(3) = -4 - 9 + 27 = 14 > 0$. - Donc $\alpha \in (2, 3)$. - Par dichotomie ou calcul numérique, on trouve $\alpha \approx 2.54$. 3. **En déduire le signe de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.** - $h(x) < 0$ pour $x < \alpha$. - $h(x) > 0$ pour $x > \alpha$. --- ### Problème 5 : Fonction $g$ restriction de $f$ à $[0, +\infty[$ (a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0, +\infty[$ vers un intervalle à préciser. - $g$ est la restriction de $f$ définie par $f(x) = -x - 1 + \sqrt{1 + x^2}$ pour $x \geq 0$. - Étudier la monotonie de $g$ : - $g'(x) = -1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} < 0$ pour tout $x \geq 0$. - Donc $g$ est strictement décroissante sur $[0, +\infty[$. - Valeurs aux bornes : - $g(0) = -0 - 1 + 1 = 0$. - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -1$. - Donc $g$ est une bijection de $[0, +\infty[$ sur $]-1, 0]$. (b) Définir la fonction $g^{-1}$. - Soit $y = g(x) = -x - 1 + \sqrt{1 + x^2}$. - Isoler $x$ en fonction de $y$ : $$y + x + 1 = \sqrt{1 + x^2}$$ Élever au carré : $$(y + x + 1)^2 = 1 + x^2$$ $$y^2 + 2y(x + 1) + (x + 1)^2 = 1 + x^2$$ $$y^2 + 2y x + 2y + x^2 + 2x + 1 = 1 + x^2$$ Simplifier : $$y^2 + 2y x + 2y + 2x = 0$$ $$2x(y + 1) = -y^2 - 2y$$ $$x = \frac{-y^2 - 2y}{2(y + 1)} = -\frac{y(y + 2)}{2(y + 1)}$$ - Domaine de $g^{-1}$ : $y \in ]-1, 0]$. (c) Tracer $(C_g)$ et $(C_g)^{-1}$. - $(C_g)$ est la courbe de $g$ sur $[0, +\infty[$. - $(C_g)^{-1}$ est la courbe de $g^{-1}$ sur $]-1, 0]$. - Ces deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$. --- **Résumé des résultats :** - Problème 3 : $f$ définie sur $\mathbb{R}$, non continue en 0, dérivée calculée, tableau de variation établi. - Problème 4 : $h$ étudiée, racine unique $\alpha \approx 2.54$, signe de $h$ déterminé. - Problème 5 : $g$ bijection de $[0, +\infty[$ sur $]-1, 0]$, expression de $g^{-1}$ donnée.