1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions : - $f(x) = \sqrt{x+2}$ - $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ Nous devons déterminer les domaines de définition $D_f$ et $D_g$, dresser les tableaux de variations, construire leurs courbes dans un même repère, étudier la composition $g \circ f$, et analyser la fonction $h(x) = \frac{1}{f(x)}$. 2. **Déterminer $D_f$ et $D_g$ :** - Pour $f(x) = \sqrt{x+2}$, l'expression sous la racine doit être $ \geq 0$, donc $x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. Ainsi, $D_f = [-2, +\infty[$. - Pour $g(x) = \frac{1}{2}x^2$, c'est un polynôme défini sur $\mathbb{R}$. Donc $D_g = \mathbb{R}$. 3. **Tableau de variations de $f$ :** - $f(x) = \sqrt{x+2}$ est croissante car la racine carrée est croissante sur son domaine. - Dérivée : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} > 0$ pour $x > -2$. - Variation : - $x$ de $-2$ à $+\infty$ - $f(x)$ de $0$ à $+\infty$ 4. **Tableau de variations de $g$ :** - $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ est une parabole avec un minimum en $x=0$. - Dérivée : $g'(x) = x$. - Variation : - Décroissante sur $]-\infty, 0]$ de $+\infty$ à $0$ - Croissante sur $[0, +\infty[$ de $0$ à $+\infty$ 5. **Construction des courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, I, j)$ :** - $(C_f)$ est la courbe de $f$ définie sur $[-2, +\infty[$, croissante à partir de $( -2, 0)$. - $(C_g)$ est la parabole symétrique par rapport à l'axe $y$ avec sommet en $(0,0)$. 6. **Déterminer graphiquement $f([-2, +\infty[)$ :** - L'image de $f$ est $[0, +\infty[$. 7. **Étudier la composition $g \circ f$ :** - a) Domaine de définition $D_{g \circ f}$ : Puisque $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $f$ sur $[-2, +\infty[$, alors $D_{g \circ f} = D_f = [-2, +\infty[$. - b) Expression de $g \circ f(x)$ : $$g(f(x)) = g\left(\sqrt{x+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\sqrt{x+2}\right)^2 = \frac{1}{2} (x+2) = \frac{x}{2} + 1$$ - c) Sens de variation de $g \circ f$ sur $[-2, +\infty[$ : $g \circ f(x) = \frac{x}{2} + 1$ est une fonction affine croissante. 8. **Étudier la fonction $h(x) = \frac{1}{f(x)}$ :** - Domaine $D_h = D_f = [-2, +\infty[$ car $f(x) > 0$ pour $x > -2$ et $f(-2) = 0$ (exclu car division par zéro). - Donc $D_h = ]-2, +\infty[$. - Étude de la variation : - $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ est décroissante car $f$ est croissante et $h$ est la fonction inverse de $f$. - Dérivée : $$h'(x) = -\frac{1}{2(x+2)^{3/2}} < 0$$ donc $h$ est strictement décroissante sur $]-2, +\infty[$. **Réponses finales :** - $D_f = [-2, +\infty[$, $D_g = \mathbb{R}$ - $f$ croissante de $0$ à $+\infty$ - $g$ décroissante sur $]-\infty, 0]$, croissante sur $[0, +\infty[$ - $g \circ f(x) = \frac{x}{2} + 1$, croissante sur $[-2, +\infty[$ - $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$, décroissante sur $]-2, +\infty[$