1. **Énoncé du problème :** Nous étudions la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ et la fonction $f$ définie par $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}$$. 2. **Calcul des limites de $g(x)$ quand $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$ :** - Pour $x \to +\infty$, on a $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 + \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1 + 1 = 2$$ car $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \to 1$. - Pour $x \to -\infty$, on a $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = 1 + \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1 - 1 = 0$$ car $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \to -1$. 3. **Dérivée de $g$ :** On montre que $$g'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$. **Démonstration :** $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1 + x(x^2 + 1)^{-1/2}$$ En dérivant, $$g'(x) = 0 + (x^2 + 1)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x = (x^2 + 1)^{-1/2} - x^2 (x^2 + 1)^{-3/2}$$ Factorisant, $$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$$ 4. **Tableau des variations de $g$ :** - $g'(x) > 0$ pour tout $x$ car le dénominateur est toujours positif. - Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Avec les limites calculées, $g$ varie de 0 à 2. 5. **Positivité de $g$ :** Puisque $g$ est croissante et $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$, on a $g(x) > 0$ pour tout $x$. 6. **Limites de $f$ :** - Pour $x \to +\infty$, $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1} \sim x - 1 + x = 2x - 1$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$. - Pour $x \to -\infty$, $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1} \sim x - 1 - x = -1$$ Donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$$. 7. **Asymptote oblique de $f$ au voisinage de $+\infty$ :** On montre que la droite $$y = 2x - 1$$ est asymptote oblique de $(C_f)$. Calculons $$\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - (2x - 1)\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + \sqrt{x^2 + 1} - 2x + 1\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$$ Or, $$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \to 0$$ Donc $y = 2x - 1$ est bien une asymptote oblique. 8. **Dérivée de $f$ :** $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = g(x)$$ 9. **Variations de $f$ :** Comme $g(x) > 0$ pour tout $x$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 10. **Calcul de $f(1)$ :** $$f(1) = 1 - 1 + \sqrt{1^2 + 1} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$$ 11. **Fonction réciproque $f^{-1}$ :** - $f$ est strictement croissante donc bijective sur $\mathbb{R}$, donc $f^{-1}$ existe sur $J = f(\mathbb{R}) = ]-1, +\infty[$. - $f^{-1}$ est dérivable en $\sqrt{2}$ car $\sqrt{2} \in J$. - La dérivée de $f^{-1}$ en $\sqrt{2}$ est $$\left(f^{-1}\right)'(\sqrt{2}) = \frac{1}{f'(f^{-1}(\sqrt{2}))}$$ Or $f(1) = \sqrt{2}$ donc $f^{-1}(\sqrt{2}) = 1$. Donc $$\left(f^{-1}\right)'(\sqrt{2}) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{g(1)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$$ 12. **Tracé des courbes :** - $(C_f)$ est la courbe de $f$. - $(C_{f^{-1}})$ est la courbe de la fonction réciproque, symétrique par rapport à la droite $y = x$. - La droite $(D): y = 2x - 1$ est asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$. --- **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ - $y = 2x - 1$ est asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ - $f'(x) = g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ - $f$ est strictement croissante - $f^{-1}$ existe sur $]-1, +\infty[$ et $$\left(f^{-1}\right)'(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$$